ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 223 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Запишите в общем виде симметрическое уравнение:

а) пятой степени; в) второй степени;

б) третьей степени; г) первой степени.

Записать симметрическое уравнение:

а) \[ax^5 + bx^4 + cx^3 + cx^2 + bx + a = 0;\]
б) \[ax^3 + bx^2 + bx + a = 0;\]
в) \[ax^2 + bx + a = 0;\]
г) \[ax + a = 0.\]

Записать симметрическое уравнение:

а) пятой степени

б) третьей степени

в) второй степени

г) первой степени

Что такое симметрическое уравнение

Симметрическим называется многочлен (или уравнение), в котором коэффициенты при членах одинаково удалённых от концов одинаковы.

То есть:

• в уравнении степени $n$ должно выполняться:

  $$a_0 = a_n,\ a_1 = a_{n-1},\ a_2 = a_{n-2},\ \dots$$

Также говорят: уравнение симметрично, если при замене $x \to \frac{1}{x}$ оно остаётся тем же (вплоть до умножения на $x^n$).

Общая структура симметрического уравнения:

Пусть степень $n = 5$, тогда:

• $a_0 = a_5$
• $a_1 = a_4$
• $a_2 = a_3$

Формально:

$$a_5x^5 + a_4x^4 + a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0 = 0$$

Симметричное, если:

$$a_5 = a_0,\ a_4 = a_1,\ a_3 = a_2$$

а) Уравнение 5-й степени

Уравнение:

$$ax^5 + bx^4 + cx^3 + cx^2 + bx + a = 0$$

Степень: 5

Коэффициенты симметричны:

• при $x^5$ и $x^0$: $a$
• при $x^4$ и $x^1$: $b$
• при $x^3$ и $x^2$: $c$

Это уже симметрическое уравнение!

б) Уравнение 3-й степени

$$ax^3 + bx^2 + bx + a = 0$$

Степень: 3

Проверим симметрию:

• при $x^3$ и $x^0$: $a$
• при $x^2$ и $x^1$: $b$

Совпадает.

Это — симметрическое уравнение.

в) Уравнение 2-й степени

$$ax^2 + bx + a = 0$$

Степень: 2

Проверка:

• при $x^2$ и $x^0$: $a$
• при $x^1$: $b$ — не нужно дублировать (в середине)

Это симметрическое уравнение.

г) Уравнение 1-й степени

$$ax + a = 0$$

Степень: 1

Слагаемые:

• при $x^1$: $a$
• при $x^0$: $a$

Коэффициенты совпадают → уравнение симметрично

Итоговые ответы:

а) Симметрическое уравнение 5-й степени:

$$a x^5 + b x^4 + c x^3 + c x^2 + b x + a = 0$$

б) Симметрическое уравнение 3-й степени:

$$a x^3 + b x^2 + b x + a = 0$$

в) Симметрическое уравнение 2-й степени:

$$a x^2 + b x + a = 0$$

г) Симметрическое уравнение 1-й степени:

$$ax+a=0$$