ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 222 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите уравнение, используя введение новой переменной:

а) (x^2+4x)^2-(x+2)^2=416; в) (x^2+6x)^2-4(x+3)^2=156;

б) (x^2-2x)^2+(x-1)^2=73; г) 3(x^2+2x)^2=35(x+1)^2+115.

a)
\[(x^2 + 4x)^2 — (x + 2)^2 = 416;\]

\[(x^2 + 4x)^2 — (x^2 + 4x + 4) = 416;\]

\[(x^2 + 4x)^2 — (x^2 + 4x) — 420 = 0;\]

Пусть \(y = x^2 + 4x\), тогда:

\[y^2 — y — 420 = 0;\]

\[D = 1^2 + 4 \cdot 420 = 1 + 1680 = 1681,\] тогда:

\[y_1 = \frac{1 — 41}{2} = -20 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{1 + 41}{2} = 21.\]

Первое значение:
\[x^2 + 4x = -20;\]

\[x^2 + 4x + 20 = 0;\]

\[D = 4^2 — 4 \cdot 20 < 0.\]

Второе значение:

\[x^2 + 4x = 21;\]

\[x^2 + 4x — 21 = 0;\]

\[D = 4^2 + 4 \cdot 21 = 16 + 84 = 100,\] тогда:

\[x_1 = \frac{-4 — 10}{2} = -7 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-4 + 10}{2} = 3.\]

Ответ: \(-7; 3.\)

б)
\[(x^2 — 2x)^2 + (x — 1)^2 = 73;\]

\[(x^2 — 2x)^2 + (x^2 — 2x + 1) = 73;\]

\[(x^2 — 2x)^2 + (x^2 — 2x) — 72 = 0;\]
Пусть \(y = x^2 — 2x\), тогда:

\[y^2 + y — 72 = 0;\]

\[D = 1^2 + 4 \cdot 72 = 1 + 288 = 289,\] тогда:

\[y_1 = \frac{-1 — 17}{2} = -9 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{-1 + 17}{2} = 8.\]

Первое значение:

\[x^2 — 2x = -9;\]

\[x^2 — 2x + 9 = 0;\]

\[D = 2^2 — 4 \cdot 9 < 0.\]

Второе значение:

\[x^2 — 2x = 8;\]

\[x^2 — 2x — 8 = 0;\]

\[D = 2^2 + 4 \cdot 8 = 4 + 32 = 36,\] тогда:

\[x_1 = \frac{2 — 6}{2} = -2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{2 + 6}{2} = 4.\]

Ответ:\(-2; 4.\)

в)
\[(x^2 + 6x)^2 — 4(x + 3)^2 = 156;\]

\[(x^2 + 6x)^2 — 4(x^2 + 6x + 9) = 156;\]

\[(x^2 + 6x)^2 — 4(x^2 + 6x) — 192 = 0;\]

Пусть \(y = x^2 + 6x\), тогда:

\[y^2 — 4y — 192 = 0;\]

\[D = 4^2 + 4 \cdot 192 = 16 + 768 = 784,\] тогда:

\[y_1 = \frac{4 — 28}{2} = -12 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{4 + 28}{2} = 16.\]

Первое значение:
\[x^2 + 6x = -12;\]

\[x^2 + 6x + 12 = 0;\]

\[D = 6^2 — 4 \cdot 12 < 0.\]

Второе значение:

\[x^2 + 6x = 16;\]

\[x^2 + 6x — 16 = 0;\]

\[D = 6^2 + 4 \cdot 16 = 36 + 64 = 100,\] тогда:

\[x_1 = \frac{-6 — 10}{2} = -8 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-6 + 10}{2} = 2.\]

Ответ: \(-8; 2.\)

г)
\[3(x^2 + 2x)^2 = 35(x + 1)^2 + 115;\]

\[3(x^2 + 2x)^2 — 35(x^2 + 2x + 1) = 115;\]

\[3(x^2 + 2x)^2 — 35(x^2 + 2x) — 150 = 0;\]

Пусть \(y = x^2 + 2x\), тогда:

\[3y^2 — 35y — 150 = 0;\]

\[D = 35^2 + 4 \cdot 3 \cdot 150 = 1225 + 1800 = 3025,\] тогда:

\[y_1 = \frac{35 — 55}{2 \cdot 3} = -\frac{10}{3} \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{35 + 55}{2 \cdot 3} = 15.\]

Первое значение:
\[x^2 + 2x = -\frac{10}{3};\]

\[3x^2 + 6x + 10 = 0;\]

\[D = 6^2 — 4 \cdot 3 \cdot 10 < 0.\]

Второе значение:
\[x^2 + 2x = 15;\]

\[x^2 + 2x — 15 = 0;\]

\[D = 2^2 + 4 \cdot 15 = 4 + 60 = 64,\] тогда:

\[x_1 = \frac{-2 — 8}{2} = -5 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-2 + 8}{2} = 3.\]

Ответ: \(-5; 3.\)

а) Найдем нули функции \( y = (x^2 + 4x)^2 — (x + 2)^2 = 416; \)

Раскроем скобки:

\( (x^2 + 4x)^2 — (x^2 + 4x + 4) = 416; \)

Переносим все в одну сторону:

\( (x^2 + 4x)^2 — (x^2 + 4x) — 420 = 0; \)

Обозначим \( y = x^2 + 4x \), получаем:

\( y^2 — y — 420 = 0; \)

Решим с помощью дискриминанта:

Дискриминант: \( D = 1^2 + 4 \cdot 420 = 1 + 1680 = 1681; \)

Корни уравнения:

\( y_1 = \frac{1 — 41}{2} = -20 \) и \( y_2 = \frac{1 + 41}{2} = 21; \)

Первое значение \( x^2 + 4x = -20 \):

\( x^2 + 4x + 20 = 0; \)

Дискриминант: \( D = 4^2 — 4 \cdot 20 < 0 \), нет решений.

Второе значение \( x^2 + 4x = 21 \):

\( x^2 + 4x — 21 = 0; \)

Дискриминант: \( D = 4^2 + 4 \cdot 21 = 16 + 84 = 100; \)

Корни уравнения:

\( x_1 = \frac{-4 — 10}{2} = -7 \) и \( x_2 = \frac{-4 + 10}{2} = 3; \)

Ответ: \( -7; 3. \)

б) Найдем нули функции \( y = (x^2 — 2x)^2 + (x — 1)^2 = 73; \)

Раскроем скобки:

\( (x^2 — 2x)^2 + (x^2 — 2x + 1) = 73; \)

Переносим все в одну сторону:

\( (x^2 — 2x)^2 + (x^2 — 2x) — 72 = 0; \)

Обозначим \( y = x^2 — 2x \), получаем:

\( y^2 + y — 72 = 0; \)

Решим с помощью дискриминанта:

Дискриминант: \( D = 1^2 + 4 \cdot 72 = 1 + 288 = 289; \)

Корни уравнения:

\( y_1 = \frac{-1 — 17}{2} = -9 \) и \( y_2 = \frac{-1 + 17}{2} = 8; \)

Первое значение \( x^2 — 2x = -9 \):

\( x^2 — 2x + 9 = 0; \)

Дискриминант: \( D = 2^2 — 4 \cdot 9 < 0 \), нет решений.

Второе значение \( x^2 — 2x = 8 \):

\( x^2 — 2x — 8 = 0; \)

Дискриминант: \( D = 2^2 + 4 \cdot 8 = 4 + 32 = 36; \)

Корни уравнения:

\( x_1 = \frac{2 — 6}{2} = -2 \) и \( x_2 = \frac{2 + 6}{2} = 4; \)

Ответ: \( -2; 4. \)

в) Найдем нули функции \( y = (x^2 + 6x)^2 — 4(x + 3)^2 = 156; \)

Раскроем скобки:

\( (x^2 + 6x)^2 — 4(x^2 + 6x + 9) = 156; \)

Переносим все в одну сторону:

\( (x^2 + 6x)^2 — 4(x^2 + 6x) — 192 = 0; \)

Обозначим \( y = x^2 + 6x \), получаем:

\( y^2 — 4y — 192 = 0; \)

Решим с помощью дискриминанта:

Дискриминант: \( D = 4^2 + 4 \cdot 192 = 16 + 768 = 784; \)

Корни уравнения:

\( y_1 = \frac{4 — 28}{2} = -12 \) и \( y_2 = \frac{4 + 28}{2} = 16; \)

Первое значение \( x^2 + 6x = -12 \):

\( x^2 + 6x + 12 = 0; \)

Дискриминант: \( D = 6^2 — 4 \cdot 12 < 0 \), нет решений.

Второе значение \( x^2 + 6x = 16 \):

\( x^2 + 6x — 16 = 0; \)

Дискриминант: \( D = 6^2 + 4 \cdot 16 = 36 + 64 = 100; \)

Корни уравнения:

\( x_1 = \frac{-6 — 10}{2} = -8 \) и \( x_2 = \frac{-6 + 10}{2} = 2; \)

Ответ: \( -8; 2. \)

г) Найдем нули функции \( y = 3(x^2 + 2x)^2 = 35(x + 1)^2 + 115; \)

Раскроем скобки:

\( 3(x^2 + 2x)^2 — 35(x^2 + 2x + 1) = 115; \)

Переносим все в одну сторону:

\( 3(x^2 + 2x)^2 — 35(x^2 + 2x) — 150 = 0; \)

Обозначим \( y = x^2 + 2x \), получаем:

\( 3y^2 — 35y — 150 = 0; \)

Решим с помощью дискриминанта:

Дискриминант: \( D = 35^2 + 4 \cdot 3 \cdot 150 = 1225 + 1800 = 3025; \)

Корни уравнения:

\( y_1 = \frac{35 — 55}{2 \cdot 3} = -\frac{10}{3} \) и \( y_2 = \frac{35 + 55}{2 \cdot 3} = 15; \)

Первое значение \( x^2 + 2x = -\frac{10}{3} \):

\( 3x^2 + 6x + 10 = 0; \)

Дискриминант: \( D = 6^2 — 4 \cdot 3 \cdot 10 < 0 \), нет решений.

Второе значение \( x^2 + 2x = 15 \):

\( x^2 + 2x — 15 = 0; \)

Дискриминант: \( D = 2^2 + 4 \cdot 15 = 4 + 60 = 64; \)

Корни уравнения:

\( x_1 = \frac{-2 — 8}{2} = -5 \) и \( x_2 = \frac{-2 + 8}{2} = 3; \)

Ответ: \( -5; 3. \)