ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 220 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) x^3(x+1)-x^2(x-2)=24;

б) (x^2+1)(x^2+3)=32-4x^2(x^2+5);

в) (x-1)(x+1)(x^2+1)+x^3(2x-1)=242-x^3.

Решить уравнение:

а)
\[ x^3(x+1) — x^2(x-2) = 24; \]

\[ x^4 + x^3 — x^3 + 2x^2 — 24 = 0; \]

\[ x^4 + 2x^2 — 24 = 0; \]

\[ D = 2^2 + 4 \cdot 24 = 4 + 96 = 100, \] тогда:

\[ x_1^2 = \frac{-2 — 10}{2} = -6 \, \text{и} \, x_2^2 = \frac{-2 + 10}{2} = 4; \]

Ответ: \(-2; 2.\)

б)
\[ (x^2 + 1)(x^2 + 3) = 32 — 4x^2(x^2 + 5); \]

\[ x^4 + 4x^2 + 3 = 32 — 4x^4 — 20x^2; \]

\[ 5x^4 + 24x^2 — 29 = 0; \]

\[ D = 24^2 + 4 \cdot 5 \cdot 29 = 576 + 580 = 1156, \] тогда:

\[ x_1^2 = \frac{-24 — 34}{2 \cdot 5} = -5.8 \, \text{и} \, x_2^2 = \frac{-24 + 34}{2 \cdot 5} = 1; \]

Ответ: \(-1; 1.\)

в)
\[ (x-1)(x+1)(x^2+1) + x^3(2x-1) = 242 — x^3; \]

\[ x^4 — 1 + 2x^3 = 242 — x^3, \]

\[ 3x^4 = 243; \]

\[ x^4 = 81, \, x = \pm \sqrt{81} = \pm 3; \]

Ответ: \(-3; 3.\)

а) Решим уравнение \( x^3(x+1) — x^2(x-2) = 24; \)

Раскроем скобки:

\( x^3(x + 1) = x^4 + x^3 \) и \( x^2(x — 2) = x^3 — 2x^2 \);

Теперь подставим это в уравнение:

\( x^4 + x^3 — x^3 + 2x^2 = 24; \)

Упростим:

\( x^4 + 2x^2 — 24 = 0; \)

Обозначим \( y = x^2 \), тогда уравнение превращается в квадратное:

\( y^2 + 2y — 24 = 0; \)

Решим его с помощью дискриминанта:

Дискриминант: \( D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100; \)

Корни уравнения:

\( y_1^2 = \frac{-2 — 10}{2} = -6 \) и \( y_2^2 = \frac{-2 + 10}{2} = 4; \)

Так как \( y_1 = x^2 \), то \( x^2 = -6 \) не имеет решений в действительных числах. Для \( x^2 = 4 \) получаем:

\( x = \pm 2; \)

Ответ: \(-2; 2.\)

б) Решим уравнение \( (x^2 + 1)(x^2 + 3) = 32 — 4x^2(x^2 + 5); \)

Раскроем скобки:

\( (x^2 + 1)(x^2 + 3) = x^4 + 3x^2 + x^2 + 3 = x^4 + 4x^2 + 3; \)

Тогда уравнение примет вид:

\( x^4 + 4x^2 + 3 = 32 — 4x^4 — 20x^2; \)

Переносим все в одну сторону:

\( x^4 + 4x^2 + 3 + 4x^4 + 20x^2 — 32 = 0; \)

Упрощаем:

\( 5x^4 + 24x^2 — 29 = 0; \)

Обозначим \( y = x^2 \), получаем квадратное уравнение:

\( 5y^2 + 24y — 29 = 0; \)

Решим его с помощью дискриминанта:

Дискриминант: \( D = 24^2 + 4 \cdot 5 \cdot 29 = 576 + 580 = 1156; \)

Корни уравнения:

\( y_1^2 = \frac{-24 — 34}{2 \cdot 5} = -5.8 \) и \( y_2^2 = \frac{-24 + 34}{2 \cdot 5} = 1; \)

Так как \( y_1 = x^2 \), то \( x^2 = -5.8 \) не имеет решений в действительных числах. Для \( x^2 = 1 \) получаем:

\( x = \pm 1; \)

Ответ: \(-1; 1.\)

в) Решим уравнение \( (x-1)(x+1)(x^2+1) + x^3(2x-1) = 242 — x^3; \)

Раскроем скобки:

\( (x-1)(x+1) = x^2 — 1; \)

Тогда уравнение примет вид:

\( (x^2 — 1)(x^2 + 1) + x^3(2x — 1) = 242 — x^3; \)

Раскроем и упростим:

\( x^4 — x^2 + 2x^4 — x^3 = 242 — x^3; \)

\( 3x^4 — x^2 — x^3 = 242; \)

Переносим все на одну сторону:

\( 3x^4 — x^2 — x^3 — 242 = 0; \)

Преобразуем уравнение:

\( x^4 — 1 + 2x^3 = 242 — x^3; \)

Упростим:

\( 3x^4 = 243; \)

Делим обе части на 3:

\( x^4 = 81; \)

Корни уравнения:

\( x = \pm \sqrt{81} = \pm 3; \)

Ответ: \(-3; 3.\)