ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 219 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) (y-1)^4+(y+1)^4=16;

б) (t-3)^4+(t+1)^4=256.

Решить уравнение:

а)
\[ (y — 1)^4 + (y + 1)^4 = 16; \]

\[ 2y^4 + 12y^2 — 14 = 0; \]

\[ y^4 + 6y^2 — 7 = 0; \]

\[ D = 6^2 — 4 \cdot 7 = 36 — 28 = 64, \] тогда:

\[ y_1 = \frac{-6 — 8}{2} = -7 \, \text{и} \, y_2 = \frac{-6 + 8}{2} = 1; \]

Ответ: \(-1; 1.\)

б)
\[ (t — 3)^4 + (t + 1)^4 = 256; \]

\[ 2t^4 — 8t^3 + 60t^2 — 104t — 174 = 0; \]

\[ t^4 — 4t^3 + 30t^2 — 52t — 87 = 0; \]

\[
\begin{array}{c|cccc}
& 1 & -4 & 30 & -52 & -87 \\
\hline
-1 & 1 & -5 & 35 & -87 & 0 \\
3 & 1 & -2 & 29 & 0 & — \\
\end{array}
\]

\[ (t \pm 1)(t — 3)(t^2 — 2t + 29) = 0; \]

\[ (t + 1)(t — 3) = 0; \]

\[ t_1 = -1, \, t_2 = 3 \]

Ответ: \(-1; 3.\)

а) Решим уравнение \((y — 1)^4 + (y + 1)^4 = 16;\)

Раскроем скобки:

\((y — 1)^4 = y^4 — 4y^3 + 6y^2 — 4y + 1\);

\((y + 1)^4 = y^4 + 4y^3 + 6y^2 + 4y + 1\);

Теперь сложим их:

\(y^4 — 4y^3 + 6y^2 — 4y + 1 + y^4 + 4y^3 + 6y^2 + 4y + 1 = 16\);

Упростим:

\(2y^4 + 12y^2 + 2 = 16\);

Переносим 16 влево:

\(2y^4 + 12y^2 — 14 = 0\);

Разделим обе части на 2:

\(y^4 + 6y^2 — 7 = 0\);

Обозначим \(z = y^2\), получаем квадратное уравнение:

\(z^2 + 6z — 7 = 0\);

Решим его с помощью дискриминанта:

Дискриминант: \(D = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64\);

Корни уравнения:

\(z_1 = \frac{-6 — 8}{2} = -7\) и \(z_2 = \frac{-6 + 8}{2} = 1\);

Так как \(z = y^2\), то \(y^2 = -7\) не имеет решений в действительных числах, а для \(y^2 = 1\) получаем:

\(y = \pm 1\);

Ответ: \(-1; 1.\)

б) Решим уравнение \((t — 3)^4 + (t + 1)^4 = 256;\)

Раскроем скобки:

\((t — 3)^4 = t^4 — 12t^3 + 54t^2 — 108t + 81\);

\((t + 1)^4 = t^4 + 4t^3 + 6t^2 + 4t + 1\);

Теперь сложим их:

\(t^4 — 12t^3 + 54t^2 — 108t + 81 + t^4 + 4t^3 + 6t^2 + 4t + 1 = 256\);

Упростим:

\(2t^4 — 8t^3 + 60t^2 — 104t + 82 = 256\);

Переносим 256 влево:

\(2t^4 — 8t^3 + 60t^2 — 104t — 174 = 0\);

Разделим обе части на 2:

\(t^4 — 4t^3 + 30t^2 — 52t — 87 = 0\);

Теперь применим синтетическое деление для нахождения корней. Начнем с деления на \(t + 1\):

Оставшееся уравнение после деления на \(t + 1\): \((t — 3)(t^2 — 2t + 29) = 0\);

Решаем \(t — 3 = 0\), получаем \(t = 3\);

Для второго множителя \(t^2 — 2t + 29 = 0\), дискриминант:

Дискриминант: \(D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 29 = 4 — 116 = -112\), так как дискриминант отрицателен, корней нет.

Ответ: \(-1; 3.\)