ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 218 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите уравнение, используя разложение на множители:

а) x^5-2x^4+x^3-2x^2+x-2=0; в) x^5-3x^3+x^2-3=0;

б) x^5+x^4-6x^3-6x^2+8x+8=0; г) 2x^5-x^3+2x^2-1=0.

Решить уравнение:

а)
\[ x^5 — 2x^4 + x^3 — 2x^2 + x — 2 = 0; \]

\[ x^4(x — 2) + x^2(x — 2) + (x — 2) = 0; \]

\[ (x^4 + x^2 + 1)(x — 2) = 0; \]

\[ x — 2 = 0, \, x = 2; \]

Ответ: \( 2 \).

б)
\[ x^5 + x^4 — 6x^3 — 6x^2 + 8x + 8 = 0; \]

\[ x^4(x + 1) — 6x^2(x + 1) + 8(x + 1) = 0; \]

\[ (x^4 — 6x^2 + 8)(x + 1) = 0; \]

\[ D = 6^2 — 4 \cdot 8 = 36 — 32 = 4, \] тогда:

\[ x_1 = 2 \, \text{и} \, x_2 = \frac{6 + 2}{2} = 4; \]

\[ x_1 = \pm \sqrt{2} \, \text{и} \, x_2 = \pm \sqrt{4} = \pm 2; \]

Ответ: \(-2; -\sqrt{2}; -1; \sqrt{2}; 2.\)

в)
\[ x^5 — 3x^3 + x^2 — 3 = 0; \]

\[ x^3(x^2 — 3) + (x^2 — 3) = 0; \]

\[ (x^3 + 1)(x^2 — 3) = 0; \]

\[ (x + \sqrt{3})(x + 1)(x — \sqrt{3}) = 0; \]

\[ x_1 = -\sqrt{3}, \, x_2 = -1, \, x_3 = \sqrt{3}; \]

Ответ: \(-\sqrt{3}; -1; \sqrt{3}.\)

г)
\[ 2x^5 — x^3 + 2x^2 — 1 = 0; \]

\[ 2x^2(x^3 + 1) — (x^3 + 1) = 0; \]

\[ (2x^2 — 1)(x^3 + 1) = 0; \]

\[ (x + 1)(x \sqrt{2} + 1)(x \sqrt{2} — 1) = 0; \]

\[ x_1 = -1, \, x_2 = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \, x_3 = \frac{\sqrt{2}}{2}; \]

Ответ: \( -1; -\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}. \)

а) Решим уравнение \(x^5 — 2x^4 + x^3 — 2x^2 + x — 2 = 0\):

Применим группировку:

\( x^4(x — 2) + x^2(x — 2) + (x — 2) = 0; \)

Вынесем общий множитель \((x — 2)\):

\( (x^4 + x^2 + 1)(x — 2) = 0; \)

Решения: \(x — 2 = 0\), \(x = 2\);

Ответ: \(2\).

б) Решим уравнение \(x^5 + x^4 — 6x^3 — 6x^2 + 8x + 8 = 0\):

Применим группировку:

\( x^4(x + 1) — 6x^2(x + 1) + 8(x + 1) = 0; \)

Вынесем общий множитель \((x + 1)\):

\( (x^4 — 6x^2 + 8)(x + 1) = 0; \)

Теперь решим квадратное уравнение для выражения \((x^4 — 6x^2 + 8) = 0\):

Обозначим \(y = x^2\), тогда уравнение принимает вид \(y^2 — 6y + 8 = 0\).

Дискриминант: \(D = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 — 32 = 4\), тогда:

\( y_1 = \frac{6 + \sqrt{4}}{2} = \frac{6 + 2}{2} = 4 \) и \( y_2 = \frac{6 — \sqrt{4}}{2} = \frac{6 — 2}{2} = 2 \);

Теперь решаем для \(y_1 = 4\):

\( x = \pm \sqrt{4} = \pm 2; \)

Для \(y_2 = 2\):

\( x = \pm \sqrt{2}; \)

Таким образом, корни: \(x_1 = 2, x_2 = 4, x_3 = -2, x_4 = -\sqrt{2}, x_5 = \sqrt{2};\)

Ответ: \(-2; -\sqrt{2}; -1; \sqrt{2}; 2.\)

в) Решим уравнение \(x^5 — 3x^3 + x^2 — 3 = 0\):

Применим группировку:

\( x^3(x^2 — 3) + (x^2 — 3) = 0; \)

Вынесем общий множитель \((x^2 — 3)\):

\( (x^3 + 1)(x^2 — 3) = 0; \)

Теперь решим оба множителя:

Для \(x^3 + 1 = 0\):

\( x = -1; \)

Для \(x^2 — 3 = 0\):

\( x = \pm \sqrt{3}; \)

Таким образом, корни: \(x_1 = -\sqrt{3}, x_2 = -1, x_3 = \sqrt{3};\)

Ответ: \(-\sqrt{3}; -1; \sqrt{3}.\)

г) Решим уравнение \(2x^5 — x^3 + 2x^2 — 1 = 0\):

Применим группировку:

\( 2x^2(x^3 + 1) — (x^3 + 1) = 0; \)

Вынесем общий множитель \((x^3 + 1)\):

\( (2x^2 — 1)(x^3 + 1) = 0; \)

Теперь решим оба множителя:

Для \(2x^2 — 1 = 0\):

\( x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}; \)

Для \(x^3 + 1 = 0\):

\( x = -1; \)

Таким образом, корни: \(x_1 = -1, x_2 = -\frac{\sqrt{2}}{2}, x_3 = \frac{\sqrt{2}}{2};\)

Ответ: \(-1; -\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}.\)