ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 211 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите координаты точек пересечения с осями координат графика функции:

а) y=x^4-5x^2; в) y=2x^3-3x^2-2x+3;

б) y=x^3-2x^2-x+2; г) y=2x^3-4x^2+7x-14.

Точки пересечения графика функции с осями координат:

a)
\[
y = x^4 — 5x^2;
\]

С осью ординат:
\[
y(0) = 0^4 — 5 \cdot 0^2 = 0;
\]

С осью абсцисс:
\[
x^4 — 5x^2 = 0;
\]

\[
x^2(x^2 — 5) = 0;
\]

\[
(x + \sqrt{5})x(x — \sqrt{5}) = 0;
\]

\[
x_1 = -\sqrt{5}, \, x_2 = 0, \, x_3 = \sqrt{5};
\]

Ответ:
\[
(0; 0); \, (-\sqrt{5}; 0); \, (\sqrt{5}; 0).
\]

б)
\[
y = x^3 — 2x^2 — x + 2;
\]

С осью ординат:
\[
y(0) = 0 — 0 — 0 + 2 = 2;
\]

С осью абсцисс:
\[
x^3 — 2x^2 — x + 2 = 0;
\]

\[
x^2(x — 2) — (x — 2) = 0;
\]

\[
(x — 2)(x^2 — 1) = 0;
\]

\[
(x + 1)(x — 1)(x — 2) = 0;
\]

\[
x_1 = -1, \, x_2 = 1, \, x_3 = 2;
\]

Ответ:
\[
(0; 2); \, (-1; 0); \, (1; 0); \, (2; 0).
\]

в)
\[
y = 2x^3 — 3x^2 — 2x + 3;
\]

С осью ординат:
\[
y(0) = 0 — 0 — 0 + 3 = 3;
\]

С осью абсцисс:
\[
2x^3 — 3x^2 — 2x + 3 = 0;
\]

\[
x^2(2x — 3) — (2x — 3) = 0;
\]

\[
(2x — 3)(x^2 — 1) = 0;
\]

\[
(x + 1)(x — 1)(2x — 3) = 0;
\]

\[
x_1 = -1, \, x_2 = 1, \, x_3 = 1.5;
\]

Ответ:
\[
(0; 3); \, (-1; 0); \, (1; 0); \, (1.5; 0).
\]

г)
\[
y = 2x^3 — 4x^2 + 7x — 14;
\]

С осью ординат:
\[
y(0) = 0 — 0 + 0 — 14 = -14;
\]

С осью абсцисс:
\[
2x^3 — 4x^2 + 7x — 14 = 0;
\]

\[
2x^2(x — 2) + 7(x — 2) = 0;
\]

\[
(2x^2 + 7)(x — 2) = 0;
\]

\[
x — 2 = 0, \, x = 2;
\]

Ответ:
\[
(0; -14); \, (2; 0).
\]

Решение задачи:

a) \( y = x^4 — 5x^2 \)

С осью ординат:

Подставляем \( x = 0 \):

\[
y(0) = 0^4 — 5 \cdot 0^2 = 0.
\]

Точка пересечения с осью ординат: \( (0; 0) \).

С осью абсцисс:

Решаем уравнение:

\[
x^4 — 5x^2 = 0;
\]

Вынесем общий множитель \( x^2 \):

\[
x^2(x^2 — 5) = 0.
\]

Теперь решаем два уравнения:

\( x^2 = 0 \), откуда \( x = 0 \);

\( x^2 — 5 = 0 \), откуда \( x = \pm \sqrt{5} \).

Ответ: \( (0; 0); \, (-\sqrt{5}; 0); \, (\sqrt{5}; 0) \).

b) \( y = x^3 — 2x^2 — x + 2 \)

С осью ординат:

Подставляем \( x = 0 \):

\[
y(0) = 0 — 0 — 0 + 2 = 2.
\]

Точка пересечения с осью ординат: \( (0; 2) \).

С осью абсцисс:

Решаем уравнение:

\[
x^3 — 2x^2 — x + 2 = 0;
\]

Применим разложение на множители:

\[
x^3 — 2x^2 — x + 2 = (x — 2)(x^2 — x — 1) = 0.
\]

Теперь решаем два уравнения:

\( x — 2 = 0 \), откуда \( x = 2 \);

\( x^2 — x — 1 = 0 \), это квадратное уравнение, решаем его с помощью дискриминанта:

\[
D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5, \quad x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}.
\]

Ответ: \( (0; 2); \, (-1; 0); \, (1; 0); \, (2; 0) \).

в) \( y = 2x^3 — 3x^2 — 2x + 3 \)

С осью ординат:

Подставляем \( x = 0 \):

\[
y(0) = 0 — 0 — 0 + 3 = 3.
\]

Точка пересечения с осью ординат: \( (0; 3) \).

С осью абсцисс:

Решаем уравнение:

\[
2x^3 — 3x^2 — 2x + 3 = 0;
\]

Применим разложение на множители:

\[
2x^3 — 3x^2 — 2x + 3 = (x — 1)(2x^2 — x — 3) = 0.
\]

Теперь решаем два уравнения:

\( x — 1 = 0 \), откуда \( x = 1 \);

\( 2x^2 — x — 3 = 0 \), это квадратное уравнение, решаем его с помощью дискриминанта:

\[
D = (-1)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25, \quad x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm 5}{4}.
\]

Корни уравнения: \( x_1 = \frac{6}{4} = 1.5, \, x_2 = \frac{-4}{4} = -1 \).

Ответ: \( (0; 3); \, (-1; 0); \, (1; 0); \, (1.5; 0) \).

г) \( y = 2x^3 — 4x^2 + 7x — 14 \)

С осью ординат:

Подставляем \( x = 0 \):

\[
y(0) = 0 — 0 + 0 — 14 = -14.
\]

Точка пересечения с осью ординат: \( (0; -14) \).

С осью абсцисс:

Решаем уравнение:

\[
2x^3 — 4x^2 + 7x — 14 = 0;
\]

Применим разложение на множители:

\[
2x^3 — 4x^2 + 7x — 14 = 2(x — 2)(x^2 + 4x + 7) = 0.
\]

Теперь решаем два уравнения:

\( x — 2 = 0 \), откуда \( x = 2 \);

Уравнение \( x^2 + 4x + 7 = 0 \) имеет отрицательный дискриминант:

\[
D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot 7 = 16 — 28 = -12.
\]

Таким образом, корней для этого уравнения нет, и единственная точка пересечения с осью абсцисс — \( x = 2 \).

Ответ: \( (0; -14); \, (2; 0) \).