ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 197 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Составьте какое-либо уравнение пятой степени вида P(x)=0, где Р(х) — многочлен стандартного вида, если известно, что множеством его корней является множество А, где:

а) A={0; -1; 1; 2; 3}; в) A={1; 3; 5};

б) A={-v2; v2; -2; 3; 5}; г) A={0; 4; -8}.

a)
\( A = \{0; -1; 1; 2; 3\}; \)

\[
x(x + 1)(x — 1)(x — 2)(x — 3) = 0;
\]

\[
x(x^2 — 1)(x^2 — 2x — 3x + 6) = 0;
\]

\[
(x^3 — x)(x^2 — 5x + 6) = 0;
\]

\[
x^5 — 5x^4 + 6x^3 — x^3 + 5x^2 — 6x = 0;
\]

\[
x^5 — 5x^4 + 5x^3 + 5x^2 — 6x = 0.
\]

б)
\( A = \{-\sqrt{2}; \sqrt{2}; -2; 3; 5\}; \)

\[
(x + \sqrt{2})(x — \sqrt{2})(x + 2)(x — 3)(x — 5) = 0;
\]

\[
(x^2 — 2)(x^2 — 3x + 2x — 6)(x — 5) = 0;
\]

\[
(x^4 — x^3 — 6x^2 — 2x^2 + 2x + 12)(x — 5) = 0;
\]

\[
(x^4 — x^3 — 8x^2 + 2x + 12)(x — 5) = 0;
\]

\[
x^5 — 6x^4 — 3x^3 + 42x^2 + 2x — 60 = 0.
\]

в)
\( A = \{1; 3; 5\}; \)
\[
(x — 1)(x — 1)(x — 3)(x — 3)(x — 5) = 0;
\]

\[
(x^2 — 2x + 1)(x^2 — 6x + 9)(x — 5) = 0;
\]

\[
(x^3 — 2x^2 + x — 5x^2 + 10x — 5)(x^2 — 6x + 9) = 0;
\]

\[
(x^3 — 7x^2 + 11x — 5)(x^2 — 6x + 9) = 0;
\]

\[
x^5 — 13x^4 + 62x^3 — 134x^2 + 129x — 45 = 0.
\]

г)
\( A = \{0; 4; -8\}; \)

\[
x(x — 4)(x + 8) = 0;
\]

\[
x^3(x^2 — 4x + 8x — 32) = 0;
\]

\[
x^3(x^2 + 4x — 32) = 0;
\]

\[
x^5 + 4x^4 — 32x^3 = 0.
\]

Заданы уравнения:

a) \( x(x + 1)(x — 1)(x — 2)(x — 3) = 0 \)

Шаг 1: Раскроем скобки в левой части уравнения:

\[
x(x + 1)(x — 1)(x — 2)(x — 3) = 0.
\]

Шаг 2: Мы можем сразу разложить на множители выражение, так как у нас есть произведение чисел, и когда хотя бы одно из чисел равно нулю, весь множитель становится равным нулю:

\[
x = 0, \quad x + 1 = 0, \quad x — 1 = 0, \quad x — 2 = 0, \quad x — 3 = 0.
\]

Шаг 3: Получаем корни уравнения \( x = 0, x = -1, x = 1, x = 2, x = 3 \). Ответ: \( A = \{0; -1; 1; 2; 3\}. \)

б) \( (x + \sqrt{2})(x — \sqrt{2})(x + 2)(x — 3)(x — 5) = 0 \)

Шаг 1: Раскроем скобки в левой части уравнения:

\[
(x + \sqrt{2})(x — \sqrt{2})(x + 2)(x — 3)(x — 5) = 0.
\]

Шаг 2: Упрощаем выражения:

\[
(x^2 — 2)(x + 2)(x — 3)(x — 5) = 0.
\]

Шаг 3: Раскрываем остальные скобки:

\[
(x^2 — 2)(x^2 — 5x + 6) = 0.
\]

Шаг 4: Раскрываем скобки в левом выражении:

\[
x^4 — x^3 — 6x^2 — 2x^2 + 2x + 12 = 0.
\]

Шаг 5: Упрощаем уравнение:

\[
x^4 — x^3 — 8x^2 + 2x + 12 = 0.
\]

Шаг 6: Получаем уравнение пятой степени с коэффициентами, которые зависят от значений переменной. Ответ: \( A = \{-\sqrt{2}; \sqrt{2}; -2; 3; 5\}. \)

в) \( (x — 1)(x — 1)(x — 3)(x — 3)(x — 5) = 0 \)

Шаг 1: Раскроем скобки:

\[
(x — 1)(x — 1)(x — 3)(x — 3)(x — 5) = 0.
\]

Шаг 2: Упростим выражения, у нас есть два одинаковых множителя \( (x — 1) \) и \( (x — 3) \), поэтому:

\[
(x — 1)^2(x — 3)^2(x — 5) = 0.
\]

Шаг 3: Раскрываем скобки:

\[
(x^2 — 2x + 1)(x^2 — 6x + 9)(x — 5) = 0.
\]

Шаг 4: Раскрываем скобки:

\[
(x^3 — 2x^2 + x — 5x^2 + 10x — 5)(x^2 — 6x + 9) = 0.
\]

Шаг 5: Упрощаем:

\[
(x^3 — 7x^2 + 11x — 5)(x^2 — 6x + 9) = 0.
\]

Шаг 6: Это уравнение пятой степени. Ответ: \( A = \{1; 3; 5\}. \)

г) \( x(x — 4)(x + 8) = 0 \)

Шаг 1: Раскроем скобки:

\[
x(x — 4)(x + 8) = 0.
\]

Шаг 2: Умножаем на \( x \) и \( x — 4 \):

\[
x^3 — 4x^2 + 8x = 0.
\]

Шаг 3: Переносим все на одну сторону:

\[
x^3(x^2 — 4x + 8x — 32) = 0.
\]

Шаг 4: Упрощаем:

\[
x^3(x^2 + 4x — 32) = 0.
\]

Шаг 5: Это уравнение пятой степени. Ответ: \( A = \{0; 4; -8\}. \)