ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 196 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

При каких значениях a:

а) число v(2-v3) является корнем уравнения x^4-2x^2+3a=0;

б) число v(3+v5) является корнем уравнения x^4-6x^2+4a^2=0?

Найти значения a:

a)
\[
x^4 — 2x^2 + 3a = 0, \quad x = \sqrt{2 — \sqrt{3}};
\]

\[
(2 — \sqrt{3})^2 — 2(2 — \sqrt{3}) + 3a = 0;
\]

\[
4 — 4\sqrt{3} + 3 — 4 + 2\sqrt{3} + 3a = 0;
\]

\[
3a = 2\sqrt{3} — 3, \quad a = \frac{2}{\sqrt{3}} — 1;
\]

Ответ: \(\frac{2}{\sqrt{3}} — 1\).

б)
\[
x^4 — 6x^2 + 4a^2 = 0, \quad a = \sqrt{3 + \sqrt{5}};
\]

\[
(3 + \sqrt{5})^2 — 6(3 + \sqrt{5}) + 4a^2 = 0;
\]

\[
9 + 6\sqrt{5} + 5 — 18 — 6\sqrt{5} + 4a^2 = 0;
\]

\[
4a^2 = 4, \quad a^2 = 1, \quad a = \pm 1;
\]

Ответ: \(-1; 1\).

Заданы уравнения:

a) \( x^4 — 2x^2 + 3a = 0, \quad x = \sqrt{2 — \sqrt{3}} \)

Шаг 1: Подставляем значение \( x = \sqrt{2 — \sqrt{3}} \) в уравнение:

\[
\left(\sqrt{2 — \sqrt{3}}\right)^4 — 2\left(\sqrt{2 — \sqrt{3}}\right)^2 + 3a = 0.
\]

Шаг 2: Упростим выражение. Начнем с \( \left(\sqrt{2 — \sqrt{3}}\right)^2 = 2 — \sqrt{3} \), затем:

\[
\left(2 — \sqrt{3}\right)^2 = 4 — 4\sqrt{3} + 3 = 7 — 4\sqrt{3}.
\]

Шаг 3: Подставляем \( \left(2 — \sqrt{3}\right)^2 \) и упрощаем:

\[
7 — 4\sqrt{3} — 2(2 — \sqrt{3}) + 3a = 0.
\]

Шаг 4: Умножим \( -2(2 — \sqrt{3}) \) на \( -2 \) и получим:

\[
7 — 4\sqrt{3} — 4 + 2\sqrt{3} + 3a = 0.
\]

Шаг 5: Упрощаем:

\[
3a = 2\sqrt{3} — 3, \quad a = \frac{2}{\sqrt{3}} — 1.
\]

Ответ: \( a = \frac{2}{\sqrt{3}} — 1 \).

б) \( x^4 — 6x^2 + 4a^2 = 0, \quad a = \sqrt{3 + \sqrt{5}} \)

Шаг 1: Подставляем значение \( a = \sqrt{3 + \sqrt{5}} \) в уравнение:

\[
\left(\sqrt{3 + \sqrt{5}}\right)^4 — 6\left(\sqrt{3 + \sqrt{5}}\right)^2 + 4a^2 = 0.
\]

Шаг 2: Упростим выражение. Начнем с \( \left(\sqrt{3 + \sqrt{5}}\right)^2 = 3 + \sqrt{5} \), затем:

\[
\left(3 + \sqrt{5}\right)^2 = 9 + 6\sqrt{5} + 5 = 14 + 6\sqrt{5}.
\]

Шаг 3: Подставляем \( \left(3 + \sqrt{5}\right)^2 \) в уравнение:

\[
14 + 6\sqrt{5} — 6(3 + \sqrt{5}) + 4a^2 = 0.
\]

Шаг 4: Умножим \( -6(3 + \sqrt{5}) \) на \( -6 \), получаем:

\[
14 + 6\sqrt{5} — 18 — 6\sqrt{5} + 4a^2 = 0.
\]

Шаг 5: Упрощаем:

\[
4a^2 = 4, \quad a^2 = 1, \quad a = \pm 1.
\]

Ответ: \( a = \pm 1 \).