ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 95 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите область определения функции и постройте её график:

g(x)=(x/(x-1)+x/(x+1))/(4/(x^2-1)).

Построить график функции:

\[
g(x) = \frac{x}{x — 1} + \frac{x}{x + 1};
\]

\[
g(x) = \frac{x(x + 1) + x(x — 1)}{x^2 — 1};
\]

\[
g(x) = \frac{x^2 + x + x^2 — x}{4};
\]

\[
g(x) = \frac{x^2 + x + x^2 — x}{4} = \frac{x^2}{2};
\]

1) Область определения:
\[
x^2 — 1 \neq 0, \quad x^2 \neq 1, \quad x \neq \pm 1;
\]

2) График функции:

Ответ: \( D(x) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty) \).

Задана функция:

\[
g(x) = \frac{x}{x — 1} + \frac{x}{x + 1}
\]

Шаг 1: Приведение двух дробей к общему знаменателю:

Нам нужно объединить две дроби \( \frac{x}{x — 1} \) и \( \frac{x}{x + 1} \) в одну. Для этого находим общий знаменатель. Общий знаменатель будет произведением \( (x — 1)(x + 1) \), так как эти выражения не равны между собой. Таким образом:

\[
g(x) = \frac{x(x + 1)}{(x — 1)(x + 1)} + \frac{x(x — 1)}{(x — 1)(x + 1)}
\]

Шаг 2: Раскрытие скобок в числителе:

Теперь раскрываем скобки в числителе обеих дробей:

\[
g(x) = \frac{x(x + 1) + x(x — 1)}{(x — 1)(x + 1)}
\]

Раскрываем скобки в числителе:

\[
g(x) = \frac{x^2 + x + x^2 — x}{(x — 1)(x + 1)}
\]

Шаг 3: Упрощение числителя:

Складываем подобные члены в числителе:

\[
g(x) = \frac{2x^2}{(x — 1)(x + 1)}
\]

Теперь у нас есть объединённая дробь, которая выражает функцию \( g(x) \) в виде:

\[
g(x) = \frac{2x^2}{x^2 — 1}
\]

Шаг 4: Область определения:

Область определения функции \( g(x) = \frac{2x^2}{x^2 — 1} \) ограничена тем, что знаменатель не может быть равен нулю. Чтобы найти, когда знаменатель равен нулю, приравниваем его к нулю:

\[
x^2 — 1 = 0
\]

Решаем это уравнение:

\[
x^2 = 1
\]

Следовательно, \( x = \pm 1 \). Это означает, что функция не определена в точках \( x = 1 \) и \( x = -1 \), так как знаменатель будет равен нулю.

Шаг 5: Область определения:

Итак, область определения функции — это все значения \( x \), кроме \( x = 1 \) и \( x = -1 \). Мы записываем область определения в виде объединения промежутков:

\[
D(x) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)
\]

График функции:

График функции будет иметь две вертикальные асимптоты в точках \( x = 1 \) и \( x = -1 \), потому что в этих точках функция не определена (знаменатель равен нулю). При приближении к этим точкам с разных сторон значение функции будет стремиться к бесконечности или минус бесконечности.

Ответ: \( D(x) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty) \).