ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 92 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите точки пересечения графиков функций:

а) y=2x^2+1 и y=3(x-2)^2; б) y=-x^2+4 и y=7(x-1)^2.

Найти точки пересечения:

a) \( y = 2x^2 + 1, \quad y = 3(x — 2)^2; \)

\[
2x^2 + 1 = 3(x — 2)^2;
\]

\[
2x^2 + 1 = 3(x^2 — 4x + 4);
\]

\[
2x^2 + 1 = 3x^2 — 12x + 12;
\]

\[
x^2 — 12x + 11 = 0;
\]

\[
D = (-12)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 11 = 144 — 44 = 100, \quad \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{-(-12) — \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{12 — 10}{2} = 1 \quad \text{и} \quad x_2 =\]

\[\frac{-(-12) + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{12 + 10}{2} = 11;
\]

\[
y_1 = 2 \cdot 1^2 + 1 = 3 \quad \text{и} \quad y_2 = 2 \cdot 11^2 + 1 = 243;
\]

Ответ: \( (1; 3), (11; 243) \).

б) \( y = -x^2 + 4, \quad y = 7(x — 1)^2; \)

\[
-x^2 + 4 = 7(x — 1)^2;
\]

\[
-x^2 + 4 = 7(x^2 — 2x + 1);
\]

\[
-x^2 + 4 = 7x^2 — 14x + 7;
\]

\[
8x^2 — 14x + 3 = 0;
\]

\[
D = (-14)^2 — 4 \cdot 8 \cdot 3 = 196 — 96 = 100, \quad \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{-(-14) — \sqrt{100}}{2 \cdot 8} = \frac{14 — 10}{16} = 0.25 \quad \text{и} \quad x_2 =\]

\[\frac{-(-14) + \sqrt{100}}{2 \cdot 8} = \frac{14 + 10}{16} = 1.5;
\]

\[
y_1 = -0.25^2 + 4 = \frac{3}{16} \quad \text{и} \quad y_2 = -1.5^2 + 4 = 1.75;
\]

Ответ: \( \left( 0.25; \frac{3}{16} \right), (1.5; 1.75) \).

Найти точки пересечения:

a) \( y = 2x^2 + 1, \quad y = 3(x — 2)^2 \):

Для нахождения точек пересечения приравниваем два выражения для \( y \):

\[
2x^2 + 1 = 3(x — 2)^2.
\]

Решаем это уравнение:

1) Раскрываем скобки в правой части:
\[
2x^2 + 1 = 3(x^2 — 4x + 4)
\]
\[
2x^2 + 1 = 3x^2 — 12x + 12.
\]

2) Переносим все члены на одну сторону:
\[
2x^2 + 1 — 3x^2 + 12x — 12 = 0
\]
Упрощаем:
\[
-x^2 + 12x — 11 = 0.
\]

3) Решаем полученное квадратное уравнение методом дискриминанта:

\[
D = (-12)^2 — 4 \cdot (-1) \cdot (-11) = 144 — 44 = 100.
\]

4) Находим корни уравнения с помощью формулы для квадратного уравнения:

\[
x_1 = \frac{-(-12) — \sqrt{100}}{2 \cdot (-1)} = \frac{12 — 10}{-2} = 1,\]
\[\quad x_2 = \frac{-(-12) + \sqrt{100}}{2 \cdot (-1)} = \frac{12 + 10}{-2} = 11.
\]

5) Теперь подставляем найденные значения \( x_1 \) и \( x_2 \) в любую из исходных функций, например, в \( y = 2x^2 + 1 \), чтобы найти соответствующие значения \( y \):

Для \( x_1 = 1 \):
\[
y_1 = 2 \cdot 1^2 + 1 = 2 + 1 = 3.
\]
Для \( x_2 = 11 \):
\[
y_2 = 2 \cdot 11^2 + 1 = 2 \cdot 121 + 1 = 242 + 1 = 243.
\]

Ответ: Точки пересечения: \( (1; 3), (11; 243) \).

б) \( y = -x^2 + 4, \quad y = 7(x — 1)^2 \):

Приравниваем два выражения для \( y \):

\[
-x^2 + 4 = 7(x — 1)^2.
\]

Решаем это уравнение:

1) Раскрываем скобки в правой части:
\[
-x^2 + 4 = 7(x^2 — 2x + 1)
\]
\[
-x^2 + 4 = 7x^2 — 14x + 7.
\]

2) Переносим все члены на одну сторону:
\[
-x^2 + 4 — 7x^2 + 14x — 7 = 0
\]
Упрощаем:
\[
-8x^2 + 14x — 3 = 0.
\]

3) Находим дискриминант:
\[
D = (14)^2 — 4 \cdot (-8) \cdot (-3) = 196 — 96 = 100.
\]

4) Находим корни уравнения с помощью формулы для квадратного уравнения:

\[
x_1 = \frac{-14 — \sqrt{100}}{2 \cdot (-8)} = \frac{-14 — 10}{-16} = \frac{-24}{-16} = 0.25,\]
\[\quad x_2 = \frac{-14 + \sqrt{100}}{2 \cdot (-8)} = \frac{-14 + 10}{-16} = \frac{-4}{-16} = 1.5.
\]

5) Теперь подставляем найденные значения \( x_1 \) и \( x_2 \) в любую из исходных функций, например, в \( y = -x^2 + 4 \), чтобы найти соответствующие значения \( y \):

Для \( x_1 = 0.25 \):
\[
y_1 = -(0.25)^2 + 4 = -0.0625 + 4 = 3.9375 = \frac{63}{16}.
\]
Для \( x_2 = 1.5 \):
\[
y_2 = -(1.5)^2 + 4 = -2.25 + 4 = 1.75.
\]

Ответ: Точки пересечения: \( \left( 0.25; \frac{63}{16} \right), (1.5; 1.75) \).