ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 8 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите нули функции, промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания и убывания функции:

а) y=|x-3|-1; в) y=x^2-4;

б) y=4-|x+2|; г) y=x^(-2).

a) \( y = |x — 3| — 1 \)
Нули функции:
\[
|x — 3| — 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad |x — 3| = 1
\]

\[
x — 3 = -1, \, x = 2; \quad x — 3 = 1, \, x = 4
\]

Промежутки знакопостоянства:
\[
y > 0 \, \text{при} \, x \in (-\infty; 2) \cup (4; +\infty);
\]

\[
y < 0 \, \text{при} \, x \in (2; 4).
\]

Промежутки монотонности:
\[
\text{Возрастает при} \, x \in [3; +\infty);
\]

\[
\text{Убывает при} \, x \in (-\infty; 3].
\]

б) \( y = 4 — |x + 2| \)
Нули функции:
\[
4 — |x + 2| = 0 \quad \Rightarrow \quad |x + 2| = 4
\]

\[
x + 2 = -4, \, x = -6; \quad x + 2 = 4, \, x = 2
\]

Промежутки знакопостоянства:
\[
y < 0 \, \text{при} \, x \in (-\infty; -6) \cup (2; +\infty);
\]

\[
y > 0 \, \text{при} \, x \in (-6; 2).
\]

Промежутки монотонности:
\[
\text{Возрастает при} \, x \in (-\infty; -2];
\]

\[
\text{Убывает при} \, x \in [-2; +\infty).
\]

в) \( y = x^2 — 4 \)
Нули функции:
\[
x^2 — 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 4, \, x = \pm 2
\]

Промежутки знакопостоянства:
\[
y > 0 \, \text{при} \, x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty);
\]

\[
y < 0 \, \text{при} \, x \in (-2; 2).
\]

Промежутки монотонности:
\[
\text{Возрастает при} \, x \in [0; +\infty);
\]

\[
\text{Убывает при} \, x \in (-\infty; 0].
\]

г) \( y = x^{-2} \)
Нули функции:
\[
\frac{1}{x^2} = 0 \quad \Rightarrow \quad x \in \emptyset
\]

Промежутки знакопостоянства:
\[
y > 0 \, \text{при} \, x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty).
\]

Промежутки монотонности:
\[
\text{Возрастает при} \, x \in (-\infty; 0);
\]

\[
\text{Убывает при} \, x \in (0; +\infty).
\]

Задача: Найдите нули функции, промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания и убывания функции:

• а) \( y = |x — 3| — 1 \)
• б) \( y = 4 — |x + 2| \)
• в) \( y = x^2 — 4 \)
• г) \( y = x^{-2} \)

а) \( y = |x — 3| — 1 \)

Нули функции:

Нули функции — это значения \( x \), при которых \( y = 0 \). Для этого решим уравнение:

\( |x — 3| — 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad |x — 3| = 1.
\)

Теперь решим два случая для \( |x — 3| = 1 \):

1) \( x — 3 = 1 \), откуда \( x = 4 \),

2) \( x — 3 = -1 \), откуда \( x = 2 \).

Таким образом, нули функции: \( x = 2 \) и \( x = 4 \).

Промежутки знакопостоянства:

Теперь анализируем, на каких промежутках \( y \) положительно или отрицательно. Для этого исследуем выражение \( |x — 3| — 1 \) на различных промежутках:

1) \( x \in (-\infty; 2) \cup (4; +\infty) \), на этих промежутках \( |x — 3| > 1 \), следовательно, \( y > 0 \),

2) \( x \in (2; 4) \), на этом промежутке \( |x — 3| < 1 \), следовательно, \( y < 0 \).

Промежутки монотонности:

Чтобы найти промежутки монотонности, определим, на каких промежутках функция возрастает или убывает:

1) \( y = |x — 3| — 1 \) возрастает на промежутке \( x \in [3; +\infty) \), так как \( |x — 3| \) возрастает при \( x \geq 3 \),

2) \( y = |x — 3| — 1 \) убывает на промежутке \( x \in (-\infty; 3] \), так как \( |x — 3| \) убывает при \( x \leq 3 \).

б) \( y = 4 — |x + 2| \)

Нули функции:

Нули функции — это значения \( x \), при которых \( y = 0 \). Для этого решим уравнение:

\( 4 — |x + 2| = 0 \quad \Rightarrow \quad |x + 2| = 4.
\)

Теперь решим два случая для \( |x + 2| = 4 \):

1) \( x + 2 = 4 \), откуда \( x = 2 \),

2) \( x + 2 = -4 \), откуда \( x = -6 \).

Таким образом, нули функции: \( x = -6 \) и \( x = 2 \).

Промежутки знакопостоянства:

Теперь анализируем, на каких промежутках \( y \) положительно или отрицательно. Для этого исследуем выражение \( 4 — |x + 2| \) на различных промежутках:

1) \( y < 0 \) на промежутках \( x \in (-\infty; -6) \cup (2; +\infty) \),

2) \( y > 0 \) на промежутке \( x \in (-6; 2) \).

Промежутки монотонности:

1) \( y = 4 — |x + 2| \) возрастает на промежутке \( x \in (-\infty; -2] \),

2) \( y = 4 — |x + 2| \) убывает на промежутке \( x \in [-2; +\infty) \).

в) \( y = x^2 — 4 \)

Нули функции:

Нули функции — это значения \( x \), при которых \( y = 0 \). Для этого решим уравнение:

\( x^2 — 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 4, \quad x = \pm 2.
\)

Таким образом, нули функции: \( x = -2 \) и \( x = 2 \).

Промежутки знакопостоянства:

Теперь анализируем, на каких промежутках \( y = x^2 — 4 \) положительно или отрицательно:

1) \( y > 0 \) на промежутках \( x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty) \),

2) \( y < 0 \) на промежутке \( x \in (-2; 2) \).

Промежутки монотонности:

1) \( y = x^2 — 4 \) возрастает на промежутке \( x \in [0; +\infty) \),

2) \( y = x^2 — 4 \) убывает на промежутке \( x \in (-\infty; 0] \).

г) \( y = x^{-2} \)

Нули функции:

Функция \( y = x^{-2} \) не имеет нулей, так как \( x^{-2} = 0 \) не имеет решений. Таким образом,:

Нули функции: \( x \in \emptyset \) (нет решений).

Промежутки знакопостоянства:

Функция \( y = x^{-2} \) всегда положительна, за исключением точки \( x = 0 \), где она не определена. Поэтому:

\( y > 0 \, \text{при} \, x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty).
\)

Промежутки монотонности:

1) \( y = x^{-2} \) возрастает на промежутке \( x \in (-\infty; 0) \),

2) \( y = x^{-2} \) убывает на промежутке \( x \in (0; +\infty) \).