ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 8 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите нули функции, промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания и убывания функции:

а) y=|x-3|-1; в) y=x^2-4;

б) y=4-|x+2|; г) y=x^(-2).

a) \( y = |x — 3| — 1 \)
Нули функции:
\[
|x — 3| — 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad |x — 3| = 1
\]

\[
x — 3 = -1, \, x = 2; \quad x — 3 = 1, \, x = 4
\]

Промежутки знакопостоянства:
\[
y > 0 \, \text{при} \, x \in (-\infty; 2) \cup (4; +\infty);
\]

\[
y < 0 \, \text{при} \, x \in (2; 4).
\]

Промежутки монотонности:
\[
\text{Возрастает при} \, x \in [3; +\infty);
\]

\[
\text{Убывает при} \, x \in (-\infty; 3].
\]

b) \( y = 4 — |x + 2| \)
Нули функции:
\[
4 — |x + 2| = 0 \quad \Rightarrow \quad |x + 2| = 4
\]

\[
x + 2 = -4, \, x = -6; \quad x + 2 = 4, \, x = 2
\]

Промежутки знакопостоянства:
\[
y < 0 \, \text{при} \, x \in (-\infty; -6) \cup (2; +\infty);
\]

\[
y > 0 \, \text{при} \, x \in (-6; 2).
\]

Промежутки монотонности:
\[
\text{Возрастает при} \, x \in (-\infty; -2];
\]

\[
\text{Убывает при} \, x \in [-2; +\infty).
\]

c) \( y = x^2 — 4 \)
Нули функции:
\[
x^2 — 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 4, \, x = \pm 2
\]

Промежутки знакопостоянства:
\[
y > 0 \, \text{при} \, x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty);
\]

\[
y < 0 \, \text{при} \, x \in (-2; 2).
\]

Промежутки монотонности:
\[
\text{Возрастает при} \, x \in [0; +\infty);
\]

\[
\text{Убывает при} \, x \in (-\infty; 0].
\]

d) \( y = x^{-2} \)
Нули функции:
\[
\frac{1}{x^2} = 0 \quad \Rightarrow \quad x \in \emptyset
\]

Промежутки знакопостоянства:
\[
y > 0 \, \text{при} \, x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty).
\]

Промежутки монотонности:
\[
\text{Возрастает при} \, x \in (-\infty; 0);
\]

\[
\text{Убывает при} \, x \in (0; +\infty).
\]

a) Функция: \( y = |x — 3| — 1 \)

Нули функции:

Решаем уравнение:

\[
|x — 3| — 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad |x — 3| = 1
\]

Далее, \( x — 3 = -1 \), тогда \( x = 2 \);
\( x — 3 = 1 \), тогда \( x = 4 \).

Промежутки знакопостоянства:

Функция \( y > 0 \) при \( x \in (-\infty; 2) \cup (4; +\infty) \);

Функция \( y < 0 \) при \( x \in (2; 4) \).

Промежутки монотонности:

Функция возрастает при \( x \in [3; +\infty) \);

Функция убывает при \( x \in (-\infty; 3] \).

b) Функция: \( y = 4 — |x + 2| \)

Нули функции:

Решаем уравнение:

\[
4 — |x + 2| = 0 \quad \Rightarrow \quad |x + 2| = 4
\]

Далее, \( x + 2 = -4 \), тогда \( x = -6 \);
\( x + 2 = 4 \), тогда \( x = 2 \).

Промежутки знакопостоянства:

Функция \( y < 0 \) при \( x \in (-\infty; -6) \cup (2; +\infty) \);

Функция \( y > 0 \) при \( x \in (-6; 2) \).

Промежутки монотонности:

Функция возрастает при \( x \in (-\infty; -2] \);

Функция убывает при \( x \in [-2; +\infty) \).

c) Функция: \( y = x^2 — 4 \)

Нули функции:

Решаем уравнение:

\[
x^2 — 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 4, \, x = \pm 2
\]

Промежутки знакопостоянства:

Функция \( y > 0 \) при \( x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty) \);

Функция \( y < 0 \) при \( x \in (-2; 2) \).

Промежутки монотонности:

Функция возрастает при \( x \in [0; +\infty) \);

Функция убывает при \( x \in (-\infty; 0] \).

d) Функция: \( y = x^{-2} \)

Нули функции:

Решаем уравнение:

\[
\frac{1}{x^2} = 0 \quad \Rightarrow \quad x \in \emptyset
\]

Промежутки знакопостоянства:

Функция \( y > 0 \) при \( x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \).

Промежутки монотонности:

Функция возрастает при \( x \in (-\infty; 0) \);

Функция убывает при \( x \in (0; +\infty) \).