ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 77 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что функция:

а) f(x)=x^2+1+1/(x^2-4) является чётной;

б) g(x)=x^3+6/(x^5-x) является нечётной.

Доказать, что функция:

a) \( f(x) = x^2 + 1 + \frac{1}{x^2 — 4}; \)

Область определения:
\[
x^2 — 4 \neq 0, \ x \neq \pm 2;
\]

Исследуем на четность:
\[
f(-x) = (-x)^2 + 1 + \frac{1}{(-x)^2 — 4};
\]

\[
f(-x) = x^2 + 1 + \frac{1}{x^2 — 4} = f(x);
\]
Что и требовалось доказать.

б) \( g(x) = x^3 + \frac{6}{x^5 — x}; \)

Область определения:
\[
x(x^4 — 1) \neq 0, \ x \neq 0, \ x \neq \pm 1;
\]

Исследуем на четность:
\[
g(-x) = (-x)^3 + \frac{6}{(-x)^5 — (-x)};
\]

\[
g(-x) = -x^3 + \frac{6}{-x^5 + x} = -g(x);
\]
Что и требовалось доказать.

a) \( f(x) = x^2 + 1 + \frac{1}{x^2 — 4} \):

Область определения:

Функция \( f(x) = x^2 + 1 + \frac{1}{x^2 — 4} \) состоит из двух частей: квадратичной функции \( x^2 + 1 \) и дробной части \( \frac{1}{x^2 — 4} \). Чтобы определить область определения, нужно обратить внимание на выражение в знаменателе дроби, так как дробь не определена, когда знаменатель равен нулю.

Знаменатель \( x^2 — 4 \) становится равным нулю, когда:
\[
x^2 — 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 2.
\]
Таким образом, функция не определена для \( x = 2 \) и \( x = -2 \).

Следовательно, область определения функции:
\[
x \neq \pm 2.
\]

Исследуем на четность:

Для того, чтобы функция \( f(x) \) была четной, необходимо, чтобы выполнялось равенство:
\[
f(-x) = f(x).
\]
Для этого подставим \( -x \) вместо \( x \) в функцию и проверим, будет ли результат равен исходной функции.

Подставим \( -x \) в выражение для \( f(x) \):

\[
f(-x) = (-x)^2 + 1 + \frac{1}{(-x)^2 — 4}.
\]

Поскольку \( (-x)^2 = x^2 \), то выражение упрощается до:
\[
f(-x) = x^2 + 1 + \frac{1}{x^2 — 4}.
\]

Теперь мы видим, что:
\[
f(-x) = x^2 + 1 + \frac{1}{x^2 — 4} = f(x).
\]
Это означает, что функция \( f(x) \) является четной, так как \( f(-x) = f(x) \) для всех значений \( x \), которые принадлежат области определения.

Что и требовалось доказать.

б) \( g(x) = x^3 + \frac{6}{x^5 — x} \):

Область определения:

Функция \( g(x) = x^3 + \frac{6}{x^5 — x} \) состоит из двух частей: кубической функции \( x^3 \) и дробной части \( \frac{6}{x^5 — x} \). Чтобы определить область определения, нужно исключить значения \( x \), при которых знаменатель дроби равен нулю.

Знаменатель \( x^5 — x \) можно разложить:
\[
x^5 — x = x(x^4 — 1).
\]
Функция будет не определена, когда \( x(x^4 — 1) = 0 \). Это происходит при:
\[
x = 0 \quad \text{или} \quad x^4 — 1 = 0.
\]
Уравнение \( x^4 — 1 = 0 \) даёт корни:
\[
x^4 = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 1.
\]
Таким образом, область определения функции: \( x \neq 0 \) и \( x \neq \pm 1 \).

Следовательно, область определения функции:
\[
x \neq 0, \ x \neq \pm 1.
\]

Исследуем на четность:

Для того, чтобы функция \( g(x) \) была нечетной, необходимо, чтобы выполнялось равенство:
\[
g(-x) = -g(x).
\]
Для этого подставим \( -x \) вместо \( x \) в функцию и проверим, будет ли результат противоположен исходной функции.

Подставим \( -x \) в выражение для \( g(x) \):

\[
g(-x) = (-x)^3 + \frac{6}{(-x)^5 — (-x)}.
\]

Поскольку \( (-x)^3 = -x^3 \) и \( (-x)^5 = -x^5 \), получаем:

\[
g(-x) = -x^3 + \frac{6}{-x^5 + x}.
\]

Теперь можно записать выражение для \( g(-x) \) как:
\[
g(-x) = -x^3 + \frac{6}{-(x^5 — x)} = -\left( x^3 + \frac{6}{x^5 — x} \right) = -g(x).
\]
Это означает, что функция \( g(x) \) является нечетной, так как \( g(-x) = -g(x) \) для всех значений \( x \), которые принадлежат области определения.

Что и требовалось доказать.