ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 76 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что:

а) функция f(x)=x^2+2x на промежутке (-?; —2] убывает, а на промежутке [0; +?) возрастает;

б) функция g(x)=x^3+x-7 возрастает на множестве R?

Доказать монотонность:

a) \( f(x) = x^2 + 2x; \)

Разность значений:
\[
f(x_2) — f(x_1) = x_2^2 + 2x_2 — x_1^2 — 2x_1 = (x_2 — x_1)(x_2 + x_1) +\]

\[2(x_2 — x_1) = (x_2 — x_1)(x_2 + x_1 + 2);
\]

Если \( x_1 < x_2 \leq -2 \), тогда:
\[
x_2 + x_1 + 2 \leq -2;
\]

\[
f(x_2) — f(x_1) < 0;
\]

\[
f(x_2) < f(x_1);
\]
Если \( x_2 > x_1 \geq 0 \), тогда:
\[
x_2 + x_1 + 2 \geq 2;
\]

\[
f(x_2) — f(x_1) > 0;
\]

\[
f(x_2) > f(x_1);
\]
Что и требовалось доказать.

б) \( g(x) = x^3 + x — 7; \)

Если \( x_2 > x_1 \), тогда:
\[
g(x_2) — g(x_1) = (x_2^3 + x_2 — 7) — (x_1^3 + x_1 — 7) =\]

\[(x_2 — x_1)(x_2^2 + x_2x_1 + x_1^2 + 1);
\]

Что и требовалось доказать.

a) \( f(x) = x^2 + 2x \):

Разность значений функции:

Предположим, что \( x_2 > x_1 \), тогда разность значений функции \( f(x) \) для \( x_2 \) и \( x_1 \) будет:

\[
f(x_2) — f(x_1) = (x_2^2 + 2x_2) — (x_1^2 + 2x_1);
\]
Это можно переписать как:
\[
f(x_2) — f(x_1) = x_2^2 + 2x_2 — x_1^2 — 2x_1.
\]
Теперь выделим общий множитель:
\[
f(x_2) — f(x_1) = (x_2 — x_1)(x_2 + x_1) + 2(x_2 — x_1).
\]
Путем группировки получаем:
\[
f(x_2) — f(x_1) = (x_2 — x_1)(x_2 + x_1 + 2);
\]

Анализ для \( x_1 < x_2 \leq -2 \):

Для \( x_1 < x_2 \leq -2 \), то есть когда \( x_2 \) и \( x_1 \) обе меньше или равны -2, выражение \( x_2 + x_1 + 2 \) будет всегда меньше или равно -2, то есть:

\[
x_2 + x_1 + 2 \leq -2.
\]

Так как \( (x_2 — x_1) \) — положительное число (поскольку \( x_2 > x_1 \)), и \( x_2 + x_1 + 2 \leq -2 \), это означает, что вся разность значений будет отрицательной:
\[
f(x_2) — f(x_1) = (x_2 — x_1)(x_2 + x_1 + 2) < 0.
\]

Значит, \( f(x_2) < f(x_1) \), то есть функция убывает на интервале \( (-\infty, -2] \).

Анализ для \( x_2 > x_1 \geq 0 \):

Теперь рассмотрим случай, когда \( x_2 > x_1 \geq 0 \), то есть оба значения \( x_1 \) и \( x_2 \) находятся в положительной части числовой оси. В этом случае выражение \( x_2 + x_1 + 2 \) всегда больше или равно 2:

\[
x_2 + x_1 + 2 \geq 2.
\]

Поскольку \( (x_2 — x_1) \) — положительное число (поскольку \( x_2 > x_1 \)), и \( x_2 + x_1 + 2 \geq 2 \), это означает, что разность значений будет положительной:

\[
f(x_2) — f(x_1) = (x_2 — x_1)(x_2 + x_1 + 2) > 0.

Следовательно, \( f(x_2) > f(x_1) \), то есть функция возрастает на интервале \( [0, +\infty) \).

Что и требовалось доказать.

б) \( g(x) = x^3 + x — 7 \):

Разность значений функции:

Предположим, что \( x_2 > x_1 \), тогда разность значений функции \( g(x) \) для \( x_2 \) и \( x_1 \) будет:

\[
g(x_2) — g(x_1) = (x_2^3 + x_2 — 7) — (x_1^3 + x_1 — 7) =\]

\[ (x_2 — x_1)(x_2^2 + x_2x_1 + x_1^2 + 1);
\]

Это выражение получается, если мы вычтем \( g(x_1) \) из \( g(x_2) \). Мы видим, что разность значений функции \( g(x_2) — g(x_1) \) разлагается на множитель \( (x_2 — x_1) \) и второе выражение \( (x_2^2 + x_2x_1 + x_1^2 + 1) \), которое всегда положительно, поскольку \( x_2^2 + x_2x_1 + x_1^2 + 1 \geq 1 \) для любых значений \( x_2 \) и \( x_1 \).

Следовательно, знак разности зависит от знака \( (x_2 — x_1) \). Если \( x_2 > x_1 \), то разность будет положительной, и функция будет возрастать на всём её определённом интервале.

Что и требовалось доказать.