ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 73 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что область значений функции ?(x)=|x-3|+|x-1|, где 1?x?3, состоит из одного числа.

Функция постоянна:

\[
\varphi(x) = |x — 3| + |x — 1|;
\]

Если \( 1 \leq x \leq 3 \), тогда:

\[
\varphi(x) = -(x — 3) + (x — 1);
\]

\[
\varphi(x) = 3 — x + x — 1 = 2;
\]

Что и требовалось доказать.

Функция постоянна:

Рассмотрим функцию:

\[
\varphi(x) = |x — 3| + |x — 1|;
\]

Если \( 1 \leq x \leq 3 \), то рассмотрим выражения для модулей:

1. Для \( |x — 3| \), так как \( x \leq 3 \), мы можем записать:
\[
|x — 3| = -(x — 3) = 3 — x;
\]
Это следует из того, что если \( x \leq 3 \), то \( x — 3 \leq 0 \), и поэтому \( |x — 3| = -(x — 3) \).

2. Для \( |x — 1| \), так как \( x \geq 1 \), выражение будет:
\[
|x — 1| = x — 1;
\]
Это следует из того, что если \( x \geq 1 \), то \( x — 1 \geq 0 \), и поэтому \( |x — 1| = x — 1 \).

Таким образом, для \( 1 \leq x \leq 3 \), мы можем записать:
\[
\varphi(x) = |x — 3| + |x — 1| = (3 — x) + (x — 1);
\]

Упрощение выражения:

Теперь упростим полученное выражение:

\[
\varphi(x) = 3 — x + x — 1;
\]

Обратите внимание, что \( -x + x = 0 \), поэтому упрощаем:

\[
\varphi(x) = 3 — 1 = 2;
\]

Что и требовалось доказать.