ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 72 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите наименьшее значение функции и значение аргумента, при котором функция это значение принимает:

а) g(x)=|x-3|-2; в) g(x)=-4/(x^2-2x+2);

б) g(x)=(x-3)/(v(x-2)+1); г) g(x)=(2x^2-3)/(x^2+1).

Найти наименьшее значение:

a) \( g(x) = |x — 3| — 2; \)

Значения функции: \( |x — 3| \geq 0; \)
\[
|x — 3| — 2 \geq -2;
\]

Значение аргумента: \( x — 3 = 0, \ x = 3; \)

Ответ: \( g(3) = -2. \)

б) \( g(x) = \frac{x — 3}{\sqrt{x — 2} + 1}; \)

Значения аргумента: \( x — 2 \geq 0, \ x \geq 2; \)

Значения функции:
\[
\sqrt{x — 2} + 1 \geq 1;
\]

\[
x — 3 \geq 1;
\]
Ответ: \( g(2) = — 1. \)

в) \( g(x) = \frac{-4}{x^2 — 2x + 2}; \)

Значения функции:
\[
x_0 = \frac{-2}{2 \cdot 1} = 2;
\]

\[
y_0 = 1 — 2 + 2 = 1;
\]

\[
x^2 — 2x + 2 \geq 2;
\]
Ответ: \( g(1) = -4. \)

г) \( g(x) = \frac{2x^2 — 3}{x^2 + 1}; \)

Значения функции:
\[
x^2 \geq 0, \ 2x^2 \geq 0;
\]

\[
2x^2 — 3 \geq -3;
\]

\[
x^2 + 1 \geq 1;
\]
Ответ: \( g(0) = -3. \)

a) \( g(x) = |x — 3| — 2; \)

Значения функции: Рассмотрим выражение \( |x — 3| \). Поскольку модуль всегда больше или равен нулю, мы можем утверждать, что:
\[
|x — 3| \geq 0;
\]
Следовательно, выражение \( |x — 3| — 2 \) всегда будет больше или равно -2:
\[
|x — 3| — 2 \geq -2;
\]
Это означает, что минимальное значение функции будет равно -2.

Значение аргумента: Чтобы найти значение функции, при котором она достигает минимального значения, нужно рассмотреть точку, где выражение \( |x — 3| \) минимально. Это произойдет, когда \( x = 3 \), поскольку тогда \( |x — 3| = 0 \).
\[
x — 3 = 0, \ x = 3;
\]
Подставим \( x = 3 \) в функцию:
\[
g(3) = |3 — 3| — 2 = 0 — 2 = -2.
\]

Ответ: \( g(3) = -2. \)

б) \( g(x) = \frac{x — 3}{\sqrt{x — 2} + 1}; \)

Значения аргумента: Убедимся, что выражение под квадратным корнем не становится отрицательным. Для этого нужно, чтобы \( x — 2 \geq 0 \), то есть \( x \geq 2 \). Таким образом, область определения функции: \( x \geq 2 \).

Значения функции: Поскольку выражение \( \sqrt{x — 2} \) всегда неотрицательно, можно утверждать, что:
\[
\sqrt{x — 2} + 1 \geq 1;
\]
Таким образом, знаменатель всегда больше или равен 1. Следовательно, функция \( g(x) \) будет минимальной, когда числитель \( x — 3 \) минимален, то есть когда \( x = 2 \). Подставим \( x = 2 \) в функцию:
\[
g(2) = \frac{2 — 3}{\sqrt{2 — 2} + 1} = \frac{-1}{0 + 1} = \frac{-1}{1} = -1.
\]

Ответ: \( g(2) = -1. \)

в) \( g(x) = \frac{-4}{x^2 — 2x + 2}; \)

Значения функции: Рассмотрим выражение в знаменателе \( x^2 — 2x + 2 \). Это квадратное выражение, и для нахождения его минимального значения найдем его вершину. Вершина параболы находится по формуле:
\[
x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-2)}{2 \cdot 1} = 1.
\]
Подставим \( x = 1 \) в выражение:
\[
y_0 = 1^2 — 2 \cdot 1 + 2 = 1 — 2 + 2 = 1;
\]
Таким образом, выражение в знаменателе всегда больше или равно 1:
\[
x^2 — 2x + 2 \geq 1;
\]
Следовательно, функция \( g(x) \) будет минимальной, когда знаменатель максимален. Подставим \( x = 1 \) в функцию:
\[
g(1) = \frac{-4}{1^2 — 2 \cdot 1 + 2} = \frac{-4}{1} = -4.
\]

Ответ: \( g(1) = -4. \)

г) \( g(x) = \frac{2x^2 — 3}{x^2 + 1}; \)

Значения функции: Рассмотрим числитель \( 2x^2 — 3 \) и знаменатель \( x^2 + 1 \). Поскольку \( x^2 \geq 0 \), то \( 2x^2 \geq 0 \), а следовательно:
\[
2x^2 — 3 \geq -3;
\]
Кроме того, знаменатель всегда положителен и больше или равен 1, так как \( x^2 + 1 \geq 1 \). Таким образом, функция \( g(x) \) будет минимальной, когда числитель минимален. Минимальное значение числителя будет, когда \( x = 0 \), подставим \( x = 0 \):
\[
g(0) = \frac{2(0)^2 — 3}{(0)^2 + 1} = \frac{-3}{1} = -3.
\]

Ответ: \( g(0) = -3. \)