ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 71 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите наибольшее значение функции и значение аргумента, при котором функция это значение принимает:

а) f(x)=3-|x-1|; в) f(x)=8/(x^2-2x+3);

б) f(x)=(10-x)/(3+v(x-1)); г) f(x)=5/(|x-7|+1).

Найти наибольшее значение:

a) \( f(x) = 3 — |x — 1|; \)

Значения функции: \( |x — 1| \geq 0; \)
\[
3 — |x — 1| \leq 3;
\]
Значение аргумента: \( x — 1 = 0, \ x = 1; \)

Ответ: \( f(1) = 3. \)

б) \( f(x) = \frac{10 — x}{3 + \sqrt{x — 1}}; \)

Значения аргумента: \( x — 1 \geq 0, \ x \geq 1; \)

Значения функции:
\[
3 + \sqrt{x — 1} \geq 3;
\]

\[
\frac{10 — x}{3 + \sqrt{x — 1}} \leq 3;
\]
Ответ: \( f(1) = 3. \)

в) \( f(x) = \frac{8}{x^2 — 2x + 3}; \)

Значения функции:
\[
x_0 = \frac{-2}{2 \cdot 1} = 2;
\]

\[
y_0 = 1 — 2 + 3 = 2;
\]
\[
x^2 — 2x + 3 \geq 2;
\]

Ответ: \( f(1) = 4. \)

г) \( f(x) = \frac{5}{|x — 7| + 1}; \)

Значения функции:
\[
|x — 7| \geq 0;
\]

\[
|x — 7| + 1 \geq 1;
\]

\[
5 \leq f(x) \leq 5;
\]

Значение аргумента: \( x = 7; \)

Ответ: \( f(7) = 5. \)

a) \( f(x) = 3 — |x — 1|; \)

Значения функции: Рассмотрим выражение \( |x — 1| \). Поскольку модуль всегда больше или равен нулю, мы можем утверждать, что:
\[
|x — 1| \geq 0;
\]
Следовательно, выражение \( 3 — |x — 1| \) всегда будет меньше или равно 3:
\[
3 — |x — 1| \leq 3;
\]
Это означает, что максимальное значение функции будет равно 3.

Значение аргумента: Чтобы найти значение функции, при котором она достигает максимума, нужно рассмотреть точку, где выражение \( |x — 1| \) минимально. Это произойдет, когда \( x = 1 \), поскольку тогда \( |x — 1| = 0 \).
\[
x — 1 = 0, \ x = 1;
\]
Подставим \( x = 1 \) в функцию:
\[
f(1) = 3 — |1 — 1| = 3 — 0 = 3.
\]

Ответ: \( f(1) = 3. \)

б) \( f(x) = \frac{10 — x}{3 + \sqrt{x — 1}}; \)

Значения аргумента: Убедимся, что выражение под квадратным корнем не становится отрицательным. Для этого нужно, чтобы \( x — 1 \geq 0 \), то есть \( x \geq 1 \). Таким образом, область определения функции: \( x \geq 1 \).

Значения функции: Поскольку выражение \( \sqrt{x — 1} \) всегда неотрицательно, можно утверждать, что:
\[
3 + \sqrt{x — 1} \geq 3;
\]
Таким образом, знаменатель всегда больше или равен 3. Следовательно, функция \( f(x) \) будет стремиться к максимальному значению, когда числитель \( 10 — x \) минимален. Это происходит, когда \( x \) максимально. Рассмотрим \( x = 1 \):
\[
f(1) = \frac{10 — 1}{3 + \sqrt{1 — 1}} = \frac{9}{3 + 0} = \frac{9}{3} = 3.
\]

Ответ: \( f(1) = 3. \)

в) \( f(x) = \frac{8}{x^2 — 2x + 3}; \)

Значения функции: Рассмотрим выражение в знаменателе \( x^2 — 2x + 3 \). Это квадратное выражение, и для нахождения его минимального значения найдем его вершину. Вершина параболы находится по формуле:
\[
x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-2)}{2 \cdot 1} = 1.
\]
Подставим \( x = 1 \) в выражение:
\[
y_0 = 1^2 — 2 \cdot 1 + 3 = 1 — 2 + 3 = 2.
\]
Таким образом, выражение в знаменателе всегда больше или равно 2:
\[
x^2 — 2x + 3 \geq 2.
\]
Это означает, что функция \( f(x) \) будет минимальной, когда знаменатель наибольший, то есть когда \( x = 1 \). Подставим \( x = 1 \) в функцию:
\[
f(1) = \frac{8}{1^2 — 2 \cdot 1 + 3} = \frac{8}{2} = 4.
\]

Ответ: \( f(1) = 4. \)

г) \( f(x) = \frac{5}{|x — 7| + 1}; \)

Значения функции: Поскольку \( |x — 7| \geq 0 \), то \( |x — 7| + 1 \geq 1 \). Следовательно, знаменатель функции всегда больше или равен 1, и функция \( f(x) \) всегда будет меньше или равна 5:
\[
f(x) = \frac{5}{|x — 7| + 1} \leq 5.
\]
Максимальное значение функции будет достигаться, когда \( |x — 7| = 0 \), то есть когда \( x = 7 \).

Значение аргумента: Подставим \( x = 7 \) в функцию:
\[
f(7) = \frac{5}{|7 — 7| + 1} = \frac{5}{0 + 1} = 5.
\]

Ответ: \( f(7) = 5. \)