ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 7 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что функция:

а) f(x)=5/(4-x) возрастает на промежутке (4; +?);

б) g(x)=4/(3x+1) убывает на промежутке (-?; -1/3).

Доказать, что функция:
a) \[f(x) = \frac{5}{4 — x};\]
Возрастает на (4; +∞):

\[x_2 > x_1 > 4;\]

\[-x_2 < -x_1 < -4;\]

\[4 — x_2 < 4 — x_1 < 0;\]

\[
\frac{1}{4 — x_2} > \frac{1}{4 — x_1};
\]

\[
\frac{5}{4 — x_2} > \frac{5}{4 — x_1}.
\]
Что и требовалось доказать.

b) \[g(x) = \frac{4}{3x + 1};\]
Убывает на \((-∞; -\frac{1}{3})\):
\[x_1 < x_2 < -\frac{1}{3};\]

\[3x_1 < 3x_2 < -1;\]

\[3x_1 + 1 < 3x_2 + 1 < 0;\]

\[
\frac{1}{3x_2 + 1} < \frac{1}{3x_1 + 1};
\]

\[
\frac{4}{3x_2 + 1} < \frac{4}{3x_1 + 1}.
\]
Что и требовалось доказать.

Задание: Доказать, что функция возрастает или убывает на определенных интервалах:

a) Функция: \( f(x) = \frac{5}{4 — x} \);

Возрастает на интервале \( (4; +\infty) \):

Рассмотрим два значения \(x_1\) и \(x_2\) такие, что \( x_2 > x_1 > 4 \).

Для того чтобы функция возрастала, нужно, чтобы ее производная была положительной. Рассмотрим разницу между значениями функции на двух точках:

• Пусть \( x_2 > x_1 > 4 \);
• Тогда: \( -x_2 < -x_1 < -4 \);
• Следовательно, \( 4 — x_2 < 4 — x_1 < 0 \);
• Так как \( \frac{1}{4 — x_2} > \frac{1}{4 — x_1} \), то \( \frac{5}{4 — x_2} > \frac{5}{4 — x_1} \);

Что и требовалось доказать: функция \( f(x) = \frac{5}{4 — x} \) возрастает на интервале \( (4; +\infty) \).

b) Функция: \( g(x) = \frac{4}{3x + 1} \);

Убывает на интервале \( (-\infty; -\frac{1}{3}) \):

Рассмотрим два значения \(x_1\) и \(x_2\) такие, что \( x_1 < x_2 < -\frac{1}{3} \).

Для того чтобы функция убывала, нужно, чтобы ее производная была отрицательной. Рассмотрим разницу между значениями функции на двух точках:

• Пусть \( x_1 < x_2 < -\frac{1}{3} \);
• Тогда: \( 3x_1 < 3x_2 < -1 \);
• Следовательно, \( 3x_1 + 1 < 3x_2 + 1 < 0 \);
• Так как \( \frac{1}{3x_2 + 1} < \frac{1}{3x_1 + 1} \), то \( \frac{4}{3x_2 + 1} < \frac{4}{3x_1 + 1} \);

Что и требовалось доказать: функция \( g(x) = \frac{4}{3x + 1} \) убывает на интервале \( (-\infty; -\frac{1}{3}) \).