ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 69 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что функция g(x) ограниченная, если:

а) g(x)=v(-x^2+4x+3); б) g(x)=1/(x^2+5).

Функция \( g(x) \) ограничена:

а) \( g(x) = \sqrt{-x^2 + 4x + 3}; \)

\[
x_0 = \frac{-4}{2 \cdot (-1)} = 2;
\]

\[
y_0 = -4 + 8 + 3 = 7;
\]

\[
-x^2 + 4x + 3 \leq 7;
\]

\[
0 \leq -x^2 + 4x + 3 \leq \sqrt{7};
\]

Что и требовалось доказать.

б) \( g(x) = \frac{1}{x^2 + 5}; \)

\[
x^2 \geq 0, \quad x^2 + 5 \geq 1;
\]
Что и требовалось доказать.

а) \( g(x) = \sqrt{-x^2 + 4x + 3} \);
Для нахождения области значений функции, начнем с нахождения её максимума. Для этого найдем вершину параболы, которая задана выражением под корнем.

Вершина параболы находится по формуле: \( x_0 = \frac{-b}{2a} \), где \( a = -1 \), \( b = 4 \). Подставляем значения:
\( x_0 = \frac{-4}{2 \cdot (-1)} = 2; \)
Теперь подставим найденное значение \( x_0 \) в исходное выражение для функции \( g(x) \), чтобы найти максимальное значение функции:
\( y_0 = -(-2)^2 + 4 \cdot 2 + 3 = -4 + 8 + 3 = 7; \)
Таким образом, максимальное значение функции равно 7.
Теперь, для того чтобы функция была определена, выражение под корнем должно быть неотрицательным:
\( -x^2 + 4x + 3 \leq 7; \)
Решаем неравенство:
\( 0 \leq -x^2 + 4x + 3 \leq 7; \)
Таким образом, функция ограничена сверху значением \( \sqrt{7} \), что и требовалось доказать.

б) \( g(x) = \frac{1}{x^2 + 5} \);
Для этой функции заметим, что \( x^2 \geq 0 \) для всех \( x \in \mathbb{R} \), следовательно:
\( x^2 + 5 \geq 1; \)
Это означает, что функция \( g(x) \) принимает значения от \( \frac{1}{5} \) до \( 1 \), так как знаменатель всегда больше или равен 1.
Таким образом, функция ограничена сверху значением 1, а снизу значением \( \frac{1}{5} \), что и требовалось доказать.