Учебник «Алгебра. 9 класс. Углубленный уровень» под редакцией Макарычева заслуженно считается одним из самых популярных и востребованных пособий для изучения алгебры в школах. Этот учебник выделяется своей структурой, содержанием и подходом к обучению, который позволяет глубже понять основные математические концепции.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 69 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Докажите, что функция g(x) ограниченная, если:
а) g(x)=v(-x^2+4x+3); б) g(x)=1/(x^2+5).
Функция \( g(x) \) ограничена:
а) \( g(x) = \sqrt{-x^2 + 4x + 3} \);
\( x_0 = \frac{4}{2 \cdot (-1)} = \frac{4}{-2} = 2 \);
\( y_0 = -4 + 8 + 3 = 7 \);
\( -x^2 + 4x + 3 \leq 7 \);
\( 0 \leq \sqrt{-x^2 + 4x + 3} \leq \sqrt{7} \);
Что и требовалось доказать.
б) \( g(x) = \frac{1}{x^2 + 5} \);
\( x^2 \geq 0, \, 0 < \frac{1}{x^2 + 5} \leq \frac{1}{5} \);
Что и требовалось доказать.
а)
\( g(x)=\sqrt{-x^2+4x+3} \)
Требование определённости корня: \( -x^2+4x+3\ge 0 \)
Приведём квадрат к полной форме: \( -x^2+4x+3=-(x^2-4x)+3 \)
Дополним до квадрата: \( x^2-4x=(x-2)^2-4 \)
Подставим: \( -x^2+4x+3=-\big((x-2)^2-4\big)+3=-(x-2)^2+7 \)
Следовательно, \( -x^2+4x+3=7-(x-2)^2 \)
Из \( 7-(x-2)^2\ge 0 \) получаем область определения: \( (x-2)^2\le 7 \Rightarrow |x-2|\le \sqrt{7} \Rightarrow x\in\big[2-\sqrt{7};\,2+\sqrt{7}\big] \)
Так как \( (x-2)^2\ge 0 \), имеем \( 7-(x-2)^2\le 7 \)
Итого для подкоренного выражения на области определения: \( 0\le 7-(x-2)^2\le 7 \)
Монотонность корня даёт: \( 0\le \sqrt{\,7-(x-2)^2\,}\le \sqrt{7} \)
Значит \( 0\le g(x)\le \sqrt{7} \) для всех \( x\in\big[2-\sqrt{7};\,2+\sqrt{7}\big] \)
Максимум достигается в вершине параболы \( x=2 \): \( g(2)=\sqrt{7} \)
Минимум \( 0 \) достигается на концах области определения, где \( 7-(x-2)^2=0 \)
Вывод: функция ограничена снизу нулём и сверху числом \( \sqrt{7} \)
б)
\( g(x)=\frac{1}{x^2+5} \)
Для всех \( x\in\mathbb{R} \) верно \( x^2\ge 0 \Rightarrow x^2+5\ge 5>0 \)
Следовательно, \( g(x)>0 \) для всех \( x \) и функция определена на всей \( \mathbb{R} \)
Из \( x^2+5\ge 5 \) получаем для положительных величин обратное неравенство: \( \frac{1}{x^2+5}\le \frac{1}{5} \)
Значит \( 0<g(x)\le \frac{1}{5} \) для всех \( x\in\mathbb{R} \)
Максимум достигается при \( x=0 \): \( g(0)=\frac{1}{5} \)
При \( |x|\to\infty \) имеем \( g(x)=\frac{1}{x^2+5}\to 0 \), нижняя грань равна \( 0 \) и не достигается
Вывод: функция ограничена снизу нулём и сверху числом \( \frac{1}{5} \)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.