Учебник «Алгебра. 9 класс. Углубленный уровень» под редакцией Макарычева заслуженно считается одним из самых популярных и востребованных пособий для изучения алгебры в школах. Этот учебник выделяется своей структурой, содержанием и подходом к обучению, который позволяет глубже понять основные математические концепции.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 68 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Найдите область значений функции и определите, является ли функция ограниченной:
а) y=16x/(x^2+1); в) y=v(16-x^2); д) y=|x-6|-1;
б) y=(x^2+1)/(8x); г) y=v(x^2-16); е) y=5-|x+3|.
Найти область значений:
а) \( y = \frac{16x}{x^2 + 1} \);
\( yx^2 + y = 16x \);
\( yx^2 — 16x + y = 0 \);
\( D = 16^2 — 4 \cdot y \cdot y \geq 0 \);
\( 256 — 4y^2 \geq 0 \);
\( 64 — y^2 \geq 0 \);
\( (y + 8)(y — 8) \leq 0 \);
\( -8 \leq y \leq 8 \);
Ответ: \( E(y) = [-8; 8] \).
б) \( y = \frac{x^2 + 1}{8x} \);
\( 8yx = x^2 + 1 \);
\( x^2 — 8yx + 1 = 0 \);
\( D = (8y)^2 — 4 \cdot 1 \geq 0 \);
\( 64y^2 — 4 \geq 0 \);
\( 16y^2 — 1 \geq 0 \);
\( (4y + 1)(4y — 1) \geq 0 \);
\( y \leq -\frac{1}{4}, \, y \geq \frac{1}{4} \);
Ответ: \( \left( -\infty; -\frac{1}{4} \right] \cup \left[ \frac{1}{4}; +\infty \right) \).
в) \( y = \sqrt{16 — x^2} \);
\( x^2 \geq 0, \quad -x^2 \leq 0 \);
\( 16 — x^2 \leq 16 \);
\( 0 \leq \sqrt{16 — x^2} \leq 4 \);
Ответ: \( E(y) = [0; 4] \).
г) \( y = \sqrt{x^2 — 16} \);
\( x \in \mathbb{R}, \, x^2 \geq 0 \);
\( x^2 — 16 \geq -16 \);
\( \sqrt{x^2 — 16} \geq 0 \);
Ответ: \( E(y) = [0; +\infty) \).
д) \( y = |x — 6| — 1 \);
\( |x — 6| \geq 0 \);
\( |x — 6| — 1 \geq -1 \);
Ответ: \( E(y) = [-1; +\infty) \).
e) \( y = 5 — |x + 3| \);
\( -|x + 3| \leq 0 \);
\( 5 — |x + 3| \leq 5 \);
Ответ: \( E(y) = (-\infty; 5] \).
а)
\( y=\frac{16x}{x^2+1} \)
Область определения: \( x\in\mathbb{R} \), так как \( x^2+1>0 \) для всех \( x \)
Фиксируем \( y \) и решаем относительно \( x \): \( y(x^2+1)=16x \)
\( yx^2-16x+y=0 \)
Требование вещественных решений по \( x \): дискриминант \( D\ge 0 \)
\( D=(-16)^2-4\cdot y\cdot y=256-4y^2 \)
\( 256-4y^2\ge 0 \Rightarrow 64-y^2\ge 0 \Rightarrow -8\le y\le 8 \)
Достижимость краёв: \( x=1\Rightarrow y=8 \), \( x=-1\Rightarrow y=-8 \)
Диапазон значений: \( E(y)=[-8; 8] \)
Ограниченность: сверху \( y\le 8 \), снизу \( y\ge -8 \) — ограничена с двух сторон
б)
\( y=\frac{x^2+1}{8x} \), область определения: \( x\ne 0 \)
Фиксируем \( y \) и решаем относительно \( x \): \( 8yx=x^2+1 \)
\( x^2-8yx+1=0 \)
Требование вещественных решений: \( D\ge 0 \)
\( D=(8y)^2-4\cdot 1\cdot 1=64y^2-4 \)
\( 64y^2-4\ge 0 \Rightarrow 16y^2-1\ge 0 \Rightarrow y\le -\frac{1}{4}\ \text{или}\ y\ge \frac{1}{4} \)
Границы достижимы при вырождении корней: \( y=\pm\frac{1}{4} \Rightarrow x=\frac{8y}{2}=4y \) (даёт \( x=\pm 1 \))
Диапазон значений: \( E(y)=\left(-\infty;-\frac{1}{4}\right]\cup\left[\frac{1}{4};+\infty\right) \)
Ограниченность: сверху не ограничена (при \( x\to 0^+ \) \( y\to +\infty \)), снизу не ограничена (при \( x\to 0^- \) \( y\to -\infty \))
в)
\( y=\sqrt{16-x^2} \)
Условие радикала: \( 16-x^2\ge 0 \Rightarrow |x|\le 4 \)
Значения корня неотрицательны: \( y\ge 0 \)
Максимум при \( x=0 \): \( y_{\max}=\sqrt{16}=4 \)
Минимум при \( |x|=4 \): \( y_{\min}=\sqrt{0}=0 \)
Диапазон значений: \( E(y)=[0; 4] \)
Ограниченность: сверху \( y\le 4 \), снизу \( y\ge 0 \) — ограничена с двух сторон
г)
\( y=\sqrt{x^2-16} \)
Условие радикала: \( x^2-16\ge 0 \Rightarrow |x|\ge 4 \)
Значения корня неотрицательны: \( y\ge 0 \)
Нижняя граница достигается при \( |x|=4 \): \( y=0 \)
При \( |x|\to\infty \): \( y=\sqrt{x^2-16}\to\infty \)
Обратная проверка достижимости: для любого \( y\ge 0 \) взять \( x=\pm\sqrt{y^2+16} \Rightarrow \sqrt{x^2-16}=y \)
Диапазон значений: \( E(y)=[0; +\infty) \)
Ограниченность: снизу ограничена нулём, сверху не ограничена
д)
\( y=|x-6|-1 \)
Свойство модуля: \( |x-6|\ge 0 \Rightarrow y\ge -1 \)
Минимум достигается при \( x=6 \): \( y_{\min}=-1 \)
При \( |x|\to\infty \): \( |x-6|\to\infty \Rightarrow y\to\infty \)
Диапазон значений: \( E(y)=[-1; +\infty) \)
Ограниченность: снизу ограничена \( y\ge -1 \), сверху не ограничена
е)
\( y=5-|x+3| \)
Свойство модуля: \( |x+3|\ge 0 \Rightarrow y\le 5 \)
Максимум при \( x=-3 \): \( y_{\max}=5 \)
При \( |x|\to\infty \): \( |x+3|\to\infty \Rightarrow y\to -\infty \)
Диапазон значений: \( E(y)=(-\infty; 5] \)
Ограниченность: сверху ограничена \( y\le 5 \), снизу не ограничена
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.