ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 68 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите область значений функции и определите, является ли функция ограниченной:

а) y=16x/(x^2+1); в) y=v(16-x^2); д) y=|x-6|-1;

б) y=(x^2+1)/(8x); г) y=v(x^2-16); е) y=5-|x+3|.

Найти область значений:

а) \( y = \frac{16x}{x^2 + 1}; \)
\( yx^2 + y = 16x; \)
\( yx^2 — 16x + y = 0; \)
\( D = 16^2 — 4 \cdot y \cdot y \geq 0; \)
\( 256 — 4y^2 \geq 0; \)
\( 64 — y^2 \geq 0; \)
\( (y + 8)(y — 8) \leq 0; \)
\( -8 \leq y \leq 8; \)
Ответ: \( E(y) = [-8; 8]. \)

б) \( y = \frac{x^2 + 1}{8x}; \)
\( x^2 — 8yx + 1 = 0; \)
\( D = (8y)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 \geq 0; \)
\( 64y^2 — 4 \geq 0; \)
\( 16y^2 — 1 \geq 0; \)
\( (4y + 1)(4y — 1) \geq 0; \)
\( y \leq \frac{-1}{4} \)
Ответ: \( E(y) = (-\infty; -\frac{1}{4}] \cup [\frac{1}{4}; +\infty) \).

в) \( y = \sqrt{x^2 — 16}; \)
\( x \in \mathbb{R}, x^2 \geq 0; \)
\( x^2 — 16 \geq 0; \)
\( \sqrt{x^2 — 16} \geq 0; \)
Ответ: \( E(y) = [0; +\infty). \)

г) \( y = |x — 6| — 1; \)
\( |x — 6| \geq 0; \)
\( |x — 6| — 1 \geq -1; \)
Ответ: \( E(y) = [-1; +\infty). \)

д) \( y = 5 |x + 3|; \)
\( |x + 3| \geq 0; \)
\( |x + 3| \leq 5; \)
Ответ: \( E(y) = [0; 5]. \)

а) \( y = \frac{16x}{x^2 + 1} \);
Начнем с преобразования уравнения для нахождения области значений.
\( yx^2 + y = 16x; \)
\( yx^2 — 16x + y = 0; \)
Теперь найдем дискриминант для этого квадратного уравнения относительно \( x \):
\( D = 16^2 — 4 \cdot y \cdot y \geq 0; \)
\( D = 256 — 4y^2 \geq 0; \)
Решаем неравенство: \( 64 — y^2 \geq 0; \)
\( (y + 8)(y — 8) \leq 0; \)
Решение этого неравенства: \( -8 \leq y \leq 8; \)
Ответ: \( E(y) = [-8; 8].

б) \( y = \frac{x^2 + 1}{8x} \);
Применяем аналогичный метод для поиска области значений.
\( x^2 — 8yx + 1 = 0; \)
Находим дискриминант относительно \( x \):
\( D = (8y)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 \geq 0; \)
\( D = 64y^2 — 4 \geq 0; \)
Решаем неравенство: \( 16y^2 — 1 \geq 0; \)
\( (4y + 1)(4y — 1) \geq 0; \)
Решение этого неравенства: \( y \leq \frac{-1}{4} \) или \( y \geq \frac{1}{4}; \)
Ответ: \( E(y) = (-\infty; -\frac{1}{4}] \cup [\frac{1}{4}; +\infty) \).

в) \( y = \sqrt{x^2 — 16}; \)
Для функции \( y = \sqrt{x^2 — 16} \), чтобы \( y \) было определено, необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным.
\( x^2 — 16 \geq 0; \)
\( x^2 \geq 16; \)
Следовательно, \( x \geq 4 \) или \( x \leq -4 \).
Так как корень не может быть отрицательным, получаем, что \( y \geq 0; \)
Ответ: \( E(y) = [0; +\infty).

г) \( y = |x — 6| — 1; \)
Для функции \( y = |x — 6| — 1 \), мы знаем, что \( |x — 6| \geq 0; \).
Таким образом, \( |x — 6| — 1 \geq -1; \)
Ответ: \( E(y) = [-1; +\infty).

д) \( y = 5 |x + 3|; \)
Для функции \( y = 5 |x + 3| \), знаем, что \( |x + 3| \geq 0; \).
Таким образом, \( 5 |x + 3| \geq 0; \).
Также существует ограничение \( |x + 3| \leq 5 \), поэтому \( y \leq 5 \).
Ответ: \( E(y) = [0; 5].