ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 64 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что значение выражения v(n^2+n+4+v(n^2+9-6n)) при n?N и n > 3 является натуральным числом.

Известно следующее:

\( n \in \mathbb{N}, n > 3; \)

Значение является натуральным числом:

\[
\sqrt{n^2 + n + 4 + \sqrt{n^2 + 9 — 6n}} = \sqrt{n^2 + n + 4 + \sqrt{(n — 3)^2}} =\]

\[\sqrt{n^2 + n + 4 — n + 3} = \sqrt{n^2 + 4n — n — 3} =\]

\[\sqrt{n^2 + 2n + 1} = \sqrt{(n + 1)^2} = n + 1;
\]

Что и требовалось доказать.

Известно, что \( n \in \mathbb{N}, n > 3 \). Требуется доказать, что выражение:

\( \sqrt{n^2 + n + 4 + \sqrt{n^2 + 9 — 6n}} \)

Шаг 1: Начнем с подкоренного выражения \( \sqrt{n^2 + 9 — 6n} \). Мы заметим, что его можно записать в виде квадрата:

\[
n^2 + 9 — 6n = (n — 3)^2
\]

Шаг 2: Подставим это в исходное выражение:

\[
\sqrt{n^2 + n + 4 + \sqrt{(n — 3)^2}}
\]

Шаг 3: Извлекаем квадратный корень из \( \sqrt{(n — 3)^2} \), так как \( \sqrt{x^2} = |x| \). Поскольку \( n > 3 \), можем записать:

\[
\sqrt{(n — 3)^2} = n — 3.
\]

Шаг 4: Подставим это в выражение:

\[
\sqrt{n^2 + n + 4 + (n — 3)} = \sqrt{n^2 + n + 4 — n + 3}
\]

Шаг 5: Упростим выражение под корнем:

\[
\sqrt{n^2 + 4n — n — 3} = \sqrt{n^2 + 2n + 1}
\]

Шаг 6: Мы видим, что выражение под корнем — это полный квадрат:

\[
\sqrt{(n + 1)^2}.
\]

Шаг 7: Извлекаем квадратный корень и получаем:

\[
\sqrt{(n + 1)^2} = n + 1.
\]

Шаг 8: Таким образом, выражение равно \( n + 1 \), как и требовалось доказать.

Ответ: \( n + 1 \).