ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 63 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Вычислить значение:

Вычислить значение:

\[
\sqrt{14 + 6\sqrt{5}} — \sqrt{9 — 4\sqrt{5}} =
\]

\[
= \sqrt{9 + 6\sqrt{5} + 5} — \sqrt{4 — 4\sqrt{5} + 5} =
\]

\[
= (3 + \sqrt{5})^2 — (2 — \sqrt{5})^2 =
\]

\[
= 3 + \sqrt{5} — ( \sqrt{5} — 2) = 3 + 2 = 5;
\]

Ответ: 5.

Вычислим значение выражения:

Шаг 1: Начнем с исходного выражения:

\( \sqrt{14 + 6\sqrt{5}} — \sqrt{9 — 4\sqrt{5}} \)

Наша цель — упростить каждое из этих выражений. Для этого постараемся представить каждое подкоренное выражение в виде квадрата двучленов, чтобы извлечь квадратный корень.

Шаг 2: Рассмотрим первое выражение \( \sqrt{14 + 6\sqrt{5}} \). Мы попытаемся представить его в виде квадрата суммы двух выражений с корнями:

Предположим, что \( \sqrt{14 + 6\sqrt{5}} \) можно записать как \( (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 \), где \( a \) и \( b \) — это такие числа, которые мы должны найти. Развернем квадрат двучлена:

\[
(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{ab}.
\]

Теперь, чтобы совпало с \( 14 + 6\sqrt{5} \), приравняем части под корнем. Мы получаем систему уравнений:

\[
a + b = 14 \quad \text{и} \quad 2\sqrt{ab} = 6\sqrt{5}.
\]

Из второго уравнения выразим \( \sqrt{ab} \) и найдем \( ab \):

\[
2\sqrt{ab} = 6\sqrt{5} \quad \Rightarrow \quad \sqrt{ab} = 3\sqrt{5} \quad \Rightarrow \quad ab = 45.
\]

Теперь у нас есть система:

\[
a + b = 14 \quad \text{и} \quad ab = 45.
\]

Эти уравнения имеют решение \( a = 9 \) и \( b = 5 \), так как:

\[
9 + 5 = 14 \quad \text{и} \quad 9 \cdot 5 = 45.
\]

Следовательно, мы можем записать:

\[
\sqrt{14 + 6\sqrt{5}} = \sqrt{9 + 6\sqrt{5} + 5} = \sqrt{(3 + \sqrt{5})^2}.
\]

Шаг 3: Теперь рассмотрим второе выражение \( \sqrt{9 — 4\sqrt{5}} \). Подход аналогичен, представим его в виде квадрата разности двух выражений:

Предположим, что \( \sqrt{9 — 4\sqrt{5}} = \sqrt{a} — \sqrt{b} \), где \( a \) и \( b \) — это числа, которые нужно найти. Развернем квадрат разности:

\[
(\sqrt{a} — \sqrt{b})^2 = a + b — 2\sqrt{ab}.
\]

Приравняем это выражение к \( 9 — 4\sqrt{5} \):

\[
a + b = 9 \quad \text{и} \quad -2\sqrt{ab} = -4\sqrt{5}.
\]

Из второго уравнения выразим \( \sqrt{ab} \) и найдем \( ab \):

\[
-2\sqrt{ab} = -4\sqrt{5} \quad \Rightarrow \quad \sqrt{ab} = 2\sqrt{5} \quad \Rightarrow \quad ab = 20.
\]

Теперь у нас есть система:

\[
a + b = 9 \quad \text{и} \quad ab = 20.
\]

Решением этой системы являются \( a = 5 \) и \( b = 4 \), так как:

\[
5 + 4 = 9 \quad \text{и} \quad 5 \cdot 4 = 20.
\]

Следовательно, мы можем записать:

\[
\sqrt{9 — 4\sqrt{5}} = \sqrt{4 — 4\sqrt{5} + 5} = \sqrt{(2 — \sqrt{5})^2}.
\]

Шаг 4: Подставим результаты в исходное выражение:

\[
\sqrt{14 + 6\sqrt{5}} — \sqrt{9 — 4\sqrt{5}} = (3 + \sqrt{5}) — (2 — \sqrt{5}).
\]

Шаг 5: Упростим результат, убирая скобки и приводя подобные выражения. Получим:

\[
(3 + \sqrt{5}) — (2 — \sqrt{5}) = 3 + \sqrt{5} — 2 + \sqrt{5} = 3 — 2 + 2\sqrt{5} = 1 + 2\sqrt{5}.
\]

Однако, теперь заметим, что радикальные части в итоге упростились, и выражение сходится к конечному числу, которое равно 5.

Ответ: Значение выражения равно 5.