ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 61 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Используя свойства монотонных функций, решите уравнение:

а) x^6+2x^4+3x^2=6; б) v(x^2+5)+v(2x^2+1)=6.

Решить уравнение:

а) \( x^6 + 2x^4 + 3x^2 = 6; \)

Левая часть является четной:
\( f(-x) = x^6 + 2x^4 + 3x^2 = f(x); \)
Функция возрастает при \( x \geq 0 \):
\( f(1) = 1 + 2 + 1 + 3 \cdot 1 = 6; \)
Ответ: \( -1; 1 \).

б) \( \sqrt{x^2 + 5} + \sqrt{2x^2 + 1} = 6; \)

Левая часть является четной:
\( f(x) = x^2 + 5 + \sqrt{2x^2 + 1}; \)
Функция возрастает при \( x \geq 0 \):
\( f(2) = \sqrt{4 + 5} + \sqrt{8 + 1} = 6; \)
Ответ: \( -2; 2 \).

а) \( x^6 + 2x^4 + 3x^2 = 6; \)

1. Исследуем четность функции:

Функция \( f(x) = x^6 + 2x^4 + 3x^2 \) является четной, так как для всех \( x \) выполняется \( f(-x) = f(x) \). Это видно, так как все степени \( x \) в выражении четные.

2. Преобразуем уравнение:

Уравнение \( x^6 + 2x^4 + 3x^2 = 6 \) можно переписать как:

\( f(x) = x^6 + 2x^4 + 3x^2 = 6 \). Рассмотрим только \( x \geq 0 \), так как функция четная, решение для \( -x \) будет аналогичным.

3. Подставляем \( x = 1 \):

Подставим \( x = 1 \) в уравнение:

\( f(1) = 1^6 + 2 \cdot 1^4 + 3 \cdot 1^2 = 1 + 2 + 3 = 6 \).

Это верно, значит, \( x = 1 \) — решение уравнения.

4. Подставляем \( x = -1 \):

Поскольку функция четная, то:

\( f(-1) = f(1) = 6 \).

Таким образом, \( x = -1 \) также является решением.

Ответ: \( x = -1 \) и \( x = 1 \).

б) \( \sqrt{x^2 + 5} + \sqrt{2x^2 + 1} = 6; \)

1. Исследуем четность функции:

Обратите внимание, что обе части функции \( \sqrt{x^2 + 5} \) и \( \sqrt{2x^2 + 1} \) являются четными, так как они включают только \( x^2 \), а \( x^2 \) всегда дает одинаковое значение для \( x \) и \( -x \). Следовательно, левая часть функции также будет четной.

2. Преобразуем уравнение:

\( \sqrt{x^2 + 5} + \sqrt{2x^2 + 1} = 6. \) Мы можем рассматривать только \( x \geq 0 \), так как уравнение четное, решение для \( -x \) будет аналогичным.

3. Подставляем \( x = 2 \):

Подставим \( x = 2 \) в уравнение:

\( \sqrt{2^2 + 5} + \sqrt{2 \cdot 2^2 + 1} = \sqrt{4 + 5} + \sqrt{8 + 1} = \sqrt{9} + \sqrt{9} = 3 + 3 = 6. \)

Это верно, значит, \( x = 2 \) — решение уравнения.

4. Подставляем \( x = -2 \):

Поскольку функция четная, то:

\( f(-2) = f(2) = 6 \).

Таким образом, \( x = -2 \) также является решением.

Ответ: \( x = -2 \) и \( x = 2 \).