ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 60 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что функция f(x)=1/(x^3+x) — убывает на каждом из промежутков (-?; 0) и (0; +?).

Задана функция:

\( f(x) = \frac{1}{x^3 + x}; \)

1) Функция является нечетной:
\( f(-x) = \frac{1}{(-x)^3 — x} = -\frac{1}{x^3 + x} = -f(x); \)

2) Функция убывает:
\( g(x) = \frac{1}{x^3 + x}, x \geq 0; \)

Что и требовалось доказать.

Задана функция: \( f(x) = \frac{1}{x^3 + x} \);

1) Функция является нечетной:

Исследуем на нечетность функцию \( f(x) \):

Для функции \( f(x) \) подставляем \( -x \):

\( f(-x) = \frac{1}{(-x)^3 + (-x)} = \frac{1}{-x^3 — x} = -\frac{1}{x^3 + x} = -f(x); \)

Так как \( f(-x) = -f(x) \), функция является нечетной.

Ответ: функция является нечетной.

2) Функция убывает:

Исследуем монотонность функции \( f(x) = \frac{1}{x^3 + x} \) для \( x \geq 0 \):

Для анализа монотонности функции, вычислим её производную:

Используем правило для производной функции \( f(x) = \frac{1}{g(x)} \), где \( g(x) = x^3 + x \):

Производная \( f'(x) = -\frac{g'(x)}{(g(x))^2} \), где \( g'(x) = 3x^2 + 1 \).

Таким образом, \( f'(x) = -\frac{3x^2 + 1}{(x^3 + x)^2} \).

Для \( x \geq 0 \), числитель \( 3x^2 + 1 \) всегда положителен, а знаменатель \( (x^3 + x)^2 \) всегда положителен, так как выражение внутри квадрата всегда положительно для \( x \geq 0 \).

Таким образом, производная \( f'(x) \) всегда отрицательна для \( x \geq 0 \), что означает, что функция убывает на интервале \( [0, +\infty) \).

Ответ: функция убывает на интервале \( x \geq 0 \).