ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 59 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что функция g(x)=6/(|x|+2) убывает на промежутке [0; +?) и возрастает на промежутке (—?; 0].

Задана функция:

\( g(x) = \frac{6}{|x| + 2}; \)

1) Функция является четной:
\( g(-x) = \frac{6}{|-x| + 2} = \frac{6}{|x| + 2} = g(x); \)

2) Функция убывает:
\( g(x) = \frac{6}{|x| + 2}, x \geq 0; \)

Что и требовалось доказать.

Задана функция: \( g(x) = \frac{6}{|x| + 2} \);

1) Функция является четной:

Исследуем на четность функцию \( g(x) \):

Для \( g(x) \) подставляем \( -x \):

\( g(-x) = \frac{6}{|-x| + 2} = \frac{6}{|x| + 2} = g(x) \);

Так как \( g(-x) = g(x) \), функция является четной.

Ответ: функция является четной.

2) Функция убывает:

Исследуем монотонность функции \( g(x) = \frac{6}{|x| + 2} \) для \( x \geq 0 \):

Функция \( g(x) = \frac{6}{|x| + 2} \) определена для \( x \geq 0 \), так как \( |x| \) всегда положительно или равно нулю.

Для \( x \geq 0 \), рассмотрим производную функции:

Производная функции \( g(x) = \frac{6}{x + 2} \) (для \( x \geq 0 \)):

\( g'(x) = -\frac{6}{(x + 2)^2} \);

Так как \( g'(x) \) всегда отрицательна для \( x \geq 0 \), то функция \( g(x) \) убывает на интервале \( [0, +\infty) \).

Ответ: функция убывает на интервале \( x \geq 0 \).