ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 58 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что:

а) если чётная функция монотонна на положительной части области определения, то она имеет противоположный характер монотонности на отрицательной части области определения;

б) если нечётная функция монотонна на положительной части области определения, то она имеет тот же характер монотонности на отрицательной части области определения.

Доказать монотонность:

а) \( f(x) = f(-x); \)

Если \( x_2 > x_1 \geq 0, \) тогда:
\( f(x_2) > f(x_1); \)
\( f(-x_2) > f(-x_1); \)
\( -x_2 < -x_1 \leq 0; \)

Возрастает при \( x \in [0; +\infty) \);
Убывает при \( x \in (-\infty; 0] \);
Что и требовалось доказать.

б) \( f(x) = -f(-x); \)

Если \( x_2 > x_1 \geq 0, \) тогда:
\( f(x_2) > f(x_1); \)
\( -f(-x_2) > -f(-x_1); \)
\( x_2 < -x_1 \leq 0; \)

Возрастает при \( x \in (-\infty; +\infty) \);
Что и требовалось доказать.

Заданы функции:

а) \( f(x) = f(-x); \)

Исследуем монотонность функции.

Если \( x_2 > x_1 \geq 0 \), то:

• \( f(x_2) > f(x_1) \);
• \( f(-x_2) > f(-x_1) \);

Следовательно, \( -x_2 < -x_1 \leq 0 \), что говорит о том, что функция:

• Возрастает на интервале \( x \in [0; +\infty) \);
• Убывает на интервале \( x \in (-\infty; 0] \);

Ответ: монотонность функции: возрастает на \( [0; +\infty) \), убывает на \( (-\infty; 0] \).

б) \( f(x) = -f(-x); \)

Исследуем монотонность функции.

Если \( x_2 > x_1 \geq 0 \), то:

• \( f(x_2) > f(x_1) \);
• \( -f(-x_2) > -f(-x_1) \);
• \( f(x_2) < f(x_1) \);

Таким образом, функция \( f(x) \) возрастает на всем интервале \( (-\infty; +\infty) \), так как с увеличением \( x \) функция убывает.

Ответ: функция возрастает на интервале \( (-\infty; +\infty) \).