Учебник «Алгебра. 9 класс. Углубленный уровень» под редакцией Макарычева заслуженно считается одним из самых популярных и востребованных пособий для изучения алгебры в школах. Этот учебник выделяется своей структурой, содержанием и подходом к обучению, который позволяет глубже понять основные математические концепции.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 58 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Докажите, что:
а) если чётная функция монотонна на положительной части области определения, то она имеет противоположный характер монотонности на отрицательной части области определения;
б) если нечётная функция монотонна на положительной части области определения, то она имеет тот же характер монотонности на отрицательной части области определения.
Доказать монотонность:
а) \( f(x) = f(-x); \)
Если \( x_2 > x_1 \geq 0, \) тогда:
\( f(x_2) > f(x_1); \)
\( f(-x_2) > f(-x_1); \)
\( -x_2 < -x_1 \leq 0; \)
Возрастает при \( x \in [0; +\infty) \);
Убывает при \( x \in (-\infty; 0] \);
Что и требовалось доказать.
б) \( f(x) = -f(-x); \)
Если \( x_2 > x_1 \geq 0, \) тогда:
\( f(x_2) > f(x_1); \)
\( -f(-x_2) > -f(-x_1); \)
\( x_2 < -x_1 \leq 0; \)
Возрастает при \( x \in (-\infty; +\infty) \);
Что и требовалось доказать.
Задача:
Докажите, что:
а) если чётная функция монотонна на положительной части области определения, то она имеет противоположный характер монотонности на отрицательной части области определения;
б) если нечётная функция монотонна на положительной части области определения, то она имеет тот же характер монотонности на отрицательной части области определения.
Решение:
а) Доказательство для чётной функции:
Пусть \( f(x) \) чётная функция, то есть \( f(x) = f(-x) \) для всех \( x \) в области определения функции.
1. Рассмотрим, что функция монотонна на положительной части области определения, то есть на интервале \( [0, +\infty) \). Если \( x_2 > x_1 \geq 0 \), то согласно монотонности:
\( f(x_2) > f(x_1) \). Так как функция чётная, то для соответствующих отрицательных значений аргументов получаем:
\( f(-x_2) = f(x_2) > f(x_1) = f(-x_1). \)
2. Переходим к отрицательной части области определения. Для \( -x_2 < -x_1 \leq 0 \), так как функция чётная, получаем следующее:
\( f(-x_2) > f(-x_1) \), то есть функция убывает на интервале \( (-\infty; 0] \).
3. Таким образом, мы доказали, что если функция монотонна на положительной части области определения, то она будет иметь противоположный характер монотонности на отрицательной части области определения.
б) Доказательство для нечётной функции:
Пусть \( f(x) \) нечётная функция, то есть \( f(x) = -f(-x) \) для всех \( x \) в области определения функции.
1. Рассмотрим, что функция монотонна на положительной части области определения, то есть на интервале \( [0, +\infty) \). Если \( x_2 > x_1 \geq 0 \), то согласно монотонности:
\( f(x_2) > f(x_1) \). Для соответствующих отрицательных значений аргументов получаем:
\( f(-x_2) = -f(x_2) < -f(x_1) = f(-x_1) \), то есть функция возрастает на интервале \( (-\infty; 0] \).
2. Таким образом, мы доказали, что если нечётная функция монотонна на положительной части области определения, то она будет сохранять тот же характер монотонности на отрицательной части области определения.
Ответ:
а) возрастает на \( [0; +\infty) \) и убывает на \( (-\infty; 0] \);
б) возрастает на \( (-\infty; +\infty) \).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.