ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 57 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Может ли для любого x, отличного от нуля, выполняться равенство:

а) f(x)+f(-x)=x; б) f(x)+f(-x)=x^2?

Существует ли функция:

а) \( f(x) + f(-x) = x; \)

Четная функция:
\( f(x) + f(x) = x; \)
\( 2f(x) = x, f(x) = \frac{x}{2}; \)

Нечетная функция:
\( f(x) — f(x) = x; \)
\( f(x) \) не существует;
Ответ: нет.

б) \( f(x) + f(-x) = x^2; \)

Четная функция:
\( f(x) + f(x) = x^2; \)
\( 2f(x) = x^2, f(x) = \frac{x^2}{2}; \)

Нечетная функция:
\( f(x) — f(x) = x^2; \)
\( f(x) \) не существует;
Ответ: да.

Задана функция:

а) \( f(x) + f(-x) = x; \)

Исследуем на четность и нечетность.

Четная функция:

Для четной функции: \( f(x) + f(x) = x \)

То есть \( 2f(x) = x \), следовательно \( f(x) = \frac{x}{2} \).

Однако это выражение действительно для четной функции, и оно не имеет противоречий.

Нечетная функция:

Для нечетной функции: \( f(x) — f(x) = x \)

Мы получаем \( 0 = x \), что невозможно, так как \( x \) не может равняться нулю в общем случае.

Ответ: нет. Для нечетной функции такого решения не существует.

б) \( f(x) + f(-x) = x^2; \)

Исследуем на четность и нечетность.

Четная функция:

Для четной функции: \( f(x) + f(x) = x^2 \)

То есть \( 2f(x) = x^2 \), следовательно \( f(x) = \frac{x^2}{2} \).

Это выражение действительно для четной функции и не имеет противоречий.

Нечетная функция:

Для нечетной функции: \( f(x) — f(x) = x^2 \)

Мы получаем \( 0 = x^2 \), что невозможно, так как \( x^2 \) всегда больше или равно нулю, а не может быть равно нулю, если \( x \neq 0 \).

Ответ: да. Для четной функции существует решение \( f(x) = \frac{x^2}{2} \).