ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 56 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что если ?(х) — произвольная функция, где D(?) — множество, симметричное относительно нуля, то:

а) f(x)=(?(x)+?(-x))/2 — чётная функция;

б) f(x)=(?(x)-?(-x))/2 — нечётная функция.

Докажите, что функция:

а) Является четной:
\( f(x) = \frac{\varphi(x) + \varphi(-x)}{2} \);
\( f(-x) = \frac{\varphi(-x) + \varphi(x)}{2} = f(x); \)
Что и требовалось доказать.

б) Является нечетной:
\( f(x) = \frac{\varphi(x) — \varphi(-x)}{2} \);
\( f(-x) = \frac{\varphi(-x) — \varphi(x)}{2} = -f(x); \)
Что и требовалось доказать.

Задана функция:

Для двух типов функций — четной и нечетной — можно представить их в виде:

а) Функция является четной:

Дано выражение для функции:

\( f(x) = \frac{\varphi(x) + \varphi(-x)}{2} \)

Проверим на четность:

Исследуем значение функции при \( -x \):

\( f(-x) = \frac{\varphi(-x) + \varphi(x)}{2} = f(x) \)

Мы видим, что \( f(-x) = f(x) \), что означает, что функция \( f(x) \) является четной.

Ответ: функция \( f(x) \) является четной.

б) Функция является нечетной:

Дано выражение для функции:

\( f(x) = \frac{\varphi(x) — \varphi(-x)}{2} \)

Проверим на нечетность:

Исследуем значение функции при \( -x \):

\( f(-x) = \frac{\varphi(-x) — \varphi(x)}{2} = -f(x) \)

Мы видим, что \( f(-x) = -f(x) \), что означает, что функция \( f(x) \) является нечетной.

Ответ: функция \( f(x) \) является нечетной.