ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 53 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Исследуйте на чётность-нечётность функции:

а) f(x)=3x^4+2/x^2-[x]; в) f(x)=2/sgn{x};

б) f(x)=4x^5-3/x^3+2/{x}; г) f(x)=2x/sgn[|x|].

Исследовать на четность:

а) \( f(x) = 3x^4 + \frac{2}{x^2} — |x|; \)
\( 3x^4 \) — четная функция;
\( \frac{2}{x^2} \) — четная функция;
\( |x| \) — ни четная, ни нечетная функция;
Ответ: ни четная, ни нечетная.

б) \( f(x) = 4x^5 \cdot |x| \cdot \text{sgn}(x); \)
\( 4x^5 \) — нечетная функция;
\( \text{sgn}(x) \) — нечетная функция;
\( |x| \) — четная функция;
Ответ: четная.

в) \( f(x) = \frac{2}{\text{sgn}(|x|^3)}; \)
\( |x| \) — четная функция;
\( |x|^3 \) — нечетная функция;
\( \text{sgn}(x) \) — нечетная функция;
Ответ: четная.

г) \( f(x) = \frac{2x}{\text{sgn}(|x|)}; \)
\( |x| \) — четная функция;
\( \text{sgn}(x) \) — нечетная функция;
Ответ: нечетная.

а) \( f(x) = 3x^4 + \frac{2}{x^2} — |x|; \)

Исследуем на четность каждую часть функции:

• \( 3x^4 \) — четная функция, так как \( f(-x) = 3(-x)^4 = 3x^4 = f(x) \);
• \( \frac{2}{x^2} \) — четная функция, так как \( f(-x) = \frac{2}{(-x)^2} = \frac{2}{x^2} = f(x) \);
• \( |x| \) — ни четная, ни нечетная функция, так как \( f(-x) = |x| \), но \( f(x) = -|x| \);

Сумма четной и нечетной функций не может быть четной или нечетной. Поэтому функция будет ни четной, ни нечетной.

Ответ: ни четная, ни нечетная.

б) \( f(x) = 4x^5 \cdot |x| \cdot \text{sgn}(x); \)

Исследуем на четность каждую часть функции:

• \( 4x^5 \) — нечетная функция, так как \( f(-x) = 4(-x)^5 = -4x^5 = -f(x) \);
• \( \text{sgn}(x) \) — нечетная функция, так как \( f(-x) = -\text{sgn}(x) \);
• \( |x| \) — четная функция, так как \( f(-x) = |x| = f(x) \);

Произведение четной и нечетной функций всегда нечетное. В данном случае, так как произведение нечетных и четных функций не дает четной функции, то функция будет нечетной.

Ответ: нечетная.

в) \( f(x) = \frac{2}{\text{sgn}(|x|^3)}; \)

Исследуем на четность каждую часть функции:

• \( |x| \) — четная функция, так как \( f(-x) = |x| = f(x) \);
• \( |x|^3 \) — нечетная функция, так как \( f(-x) = -|x|^3 = f(x) \);
• \( \text{sgn}(x) \) — нечетная функция, так как \( f(-x) = -\text{sgn}(x) \);

В данном случае, дробь с четным числителем и нечетным знаменателем будет четной функцией, так как \( f(-x) = f(x) \). Следовательно, функция \( f(x) = \frac{2}{\text{sgn}(|x|^3)} \) является четной.

Ответ: четная.

г) \( f(x) = \frac{2x}{\text{sgn}(|x|)}; \)

Исследуем на четность каждую часть функции:

• \( |x| \) — четная функция, так как \( f(-x) = |x| = f(x) \);
• \( \text{sgn}(x) \) — нечетная функция, так как \( f(-x) = -\text{sgn}(x) \);

Дробь с четным числителем и нечетным знаменателем делает функцию нечетной. Следовательно, функция \( f(x) = \frac{2x}{\text{sgn}(|x|)} \) будет нечетной.

Ответ: нечетная.