ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 51 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Объясните, какие из указанных функций являются чётными:

а) f(x)=2x^4-3/x^2-4|x|; в) f(x)=(2x^2+5)/(sgn(x))^2;

б) f(x)=2x^4·|x|·sgn(x); г) f(x)=sgn(2x^2+5)/x^2.

Исследовать на четность:

а) \( f(x) = 2x^4 — \frac{3}{x^2} — 4|x|; \)
\( 2x^4 \) — четная функция;
\( \frac{3}{x^2} \) — четная функция;
\( 4|x| \) — четная функция;
Ответ: четная.

б) \( f(x) = 2x^4 \cdot |x| \cdot \text{sgn}(x); \)
\( 2x^4 \) — четная функция;
\( |x| \) — четная функция;
\( \text{sgn}(x) \) — нечетная функция;
Ответ: нечетная.

в) \( f(x) = 2x^2 + 5 \cdot (\text{sgn}(x))^2; \)
\( 2x^2 + 5 \) — четная функция;
\( \text{sgn}(x) \) — нечетная функция;
\( (\text{sgn}(x))^2 \) — четная функция;
Ответ: четная.

г) \( f(x) = \frac{\text{sgn}(x)}{x^2 + 5}; \)
\( \text{sgn}(x) \) — нечетная функция;
\( x^2 + 5 \) — четная функция;
Ответ: четная.

а) \( f(x) = 2x^4 — \frac{3}{x^2} — 4|x|; \)

Исследуем на четность каждую часть функции:

\( 2x^4 \) — четная функция, так как \( f(-x) = 2(-x)^4 = 2x^4 = f(x) \);

\( \frac{3}{x^2} \) — четная функция, так как \( f(-x) = \frac{3}{(-x)^2} = \frac{3}{x^2} = f(x) \);

\( 4|x| \) — четная функция, так как \( f(-x) = 4|-x| = 4|x| = f(x) \);

Сумма четных функций также будет четной. Следовательно, вся функция \( f(x) = 2x^4 — \frac{3}{x^2} — 4|x| \) является четной.

Ответ: четная.

б) \( f(x) = 2x^4 \cdot |x| \cdot \text{sgn}(x); \)

Исследуем на четность каждую часть функции:

\( 2x^4 \) — четная функция, так как \( f(-x) = 2(-x)^4 = 2x^4 = f(x) \);

\( |x| \) — четная функция, так как \( f(-x) = |-x| = |x| = f(x) \);

\( \text{sgn}(x) \) — нечетная функция, так как \( f(-x) = -\text{sgn}(x) \);

Произведение четной и нечетной функций всегда нечетно, так как \( f(-x) = -f(x) \). Таким образом, функция \( f(x) = 2x^4 \cdot |x| \cdot \text{sgn}(x) \) будет нечетной.

Ответ: нечетная.

в) \( f(x) = 2x^2 + 5 \cdot (\text{sgn}(x))^2; \)

Исследуем на четность каждую часть функции:

\( 2x^2 + 5 \) — четная функция, так как \( f(-x) = 2(-x)^2 + 5 = 2x^2 + 5 = f(x) \);

\( \text{sgn}(x) \) — нечетная функция, но \( (\text{sgn}(x))^2 \) — четная функция, так как \( f(-x) = (\text{sgn}(-x))^2 = (\text{sgn}(x))^2 \);

Сумма четной функции \( 2x^2 + 5 \) и четной функции \( 5 \cdot (\text{sgn}(x))^2 \) также будет четной. Следовательно, вся функция \( f(x) = 2x^2 + 5 \cdot (\text{sgn}(x))^2 \) является четной.

Ответ: четная.

г) \( f(x) = \frac{\text{sgn}(x)}{x^2 + 5}; \)

Исследуем на четность каждую часть функции:

\( \text{sgn}(x) \) — нечетная функция, так как \( f(-x) = -\text{sgn}(x) \);

\( x^2 + 5 \) — четная функция, так как \( f(-x) = (-x)^2 + 5 = x^2 + 5 \);

Для дроби, если числитель нечетный, а знаменатель четный, то дробь будет четной, так как \( f(-x) = f(x) \). Поэтому функция \( f(x) = \frac{\text{sgn}(x)}{x^2 + 5} \) является четной.

Ответ: четная.