ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 50 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите, при каких значениях параметра b функция монотонна:

f(x)={x^3, если x?0; 2x+b, если x > 0}.

Функция монотонная:

\( f(x) = \begin{cases}
x^3, & \text{если } x \leq 0 \\
2x + b, & \text{если } x > 0
\end{cases} \)

Функции возрастают:

\( 0^3 = 2 \cdot 0 + b, b = 0; \)

Ответ: \( b = 0 \).

Задана функция:

\( f(x) =
\begin{cases}
x^3, & \text{если } x \leq 0 \\
2x + b, & \text{если } x > 0
\end{cases}
\)

Шаг 1: Монотонность функции на интервалах

Для \( x \leq 0 \), функция \( f(x) = x^3 \) является монотонно убывающей, так как её производная \( f'(x) = 3x^2 \) всегда неотрицательна для всех \( x \leq 0 \), и производная равна нулю в точке \( x = 0 \).

Для \( x > 0 \), функция \( f(x) = 2x + b \) является линейной и монотонно возрастающей, так как её производная \( f'(x) = 2 \), что всегда положительно.

Шаг 2: Переход через точку \( x = 0 \)

Нам нужно, чтобы функция была непрерывной в точке \( x = 0 \) и не имела разрыва. Для этого мы проверим, чтобы значения функции с левой и правой стороны совпадали. Для этого вычислим значения функции с обеих сторон точки \( x = 0 \):

• Для \( x \leq 0 \), \( f(x) = x^3 \), и при \( x = 0 \) получаем \( f(0^-) = 0^3 = 0 \);
• Для \( x > 0 \), \( f(x) = 2x + b \), и при \( x = 0 \) получаем \( f(0^+) = 2 \cdot 0 + b = b \);

Для непрерывности функции при \( x = 0 \) должно выполняться равенство:

\( f(0^-) = f(0^+) \quad \Rightarrow \quad 0 = b \quad \Rightarrow \quad b = 0.
\)

Шаг 3: Проверка монотонности:

Теперь, подставив \( b = 0 \), получаем функцию:

\( f(x) =
\begin{cases}
x^3, & \text{если } x \leq 0 \\
2x, & \text{если } x > 0
\end{cases}
\)

Для \( x \leq 0 \), функция \( f(x) = x^3 \) монотонно убывает.

Для \( x > 0 \), функция \( f(x) = 2x \) монотонно возрастает.

Таким образом, функция будет монотонной на всей области определения, так как она монотонна как на интервале \( (-\infty, 0] \), так и на интервале \( (0, +\infty) \).

Ответ: \( b = 0 \).