ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 42 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Постройте график функции g, если известно, что функция g нечётная и её значения при x?0 могут быть найдены по формуле:

а) g(x)=x^2; в) g(x)=|x-2|-2;

б) g(x)=vx; г) g(x)=x-3.

Построить график нечетной функции:

а) \( g(x) = x^4, x \geq 0; \)

б) \( g(x) = \sqrt{x}, x \geq 0; \)

в) \( g(x) = |x — 2| — 2, x \geq 0; \)

г) \( g(x) = x — 3, x \geq 0; \)

Функция $g(x)$ называется нечётной, если:

$$g(-x) = -g(x) \quad \text{для всех } x \text{ из области определения.}$$

Геометрически:
График нечётной функции симметричен относительно начала координат (точки O(0, 0)).

Алгоритм построения графика нечётной функции:

1. Построить график функции при $x \ge 0$ (уже есть).
2. Для каждой точки $(x, y)$, построить симметричную относительно начала координат:

   $$(-x, -y)$$

3. Получившийся график будет графиком нечётной функции.

а) $g(x) = x^2, \; x \ge 0$

Шаг 1: График при $x \ge 0$

• Это обычная парабола:
  • $g(0) = 0$
  • $g(1) = 1$
  • $g(2) = 4$
  • $g(3) = 9$
• На графике видна правая ветвь параболы, направленная вверх.

Проверка на нечётность:

$$g(-x) = (-x)^2 = x^2 = g(x) \Rightarrow \text{функция чётная!}$$

Но задание: сделать её нечётной — то есть, искусственно построить нечётную версию.

Шаг 2: Строим отражение по началу координат

• Берём точку $(1, 1) \rightarrow (-1, -1)$
• $(2, 4) \rightarrow (-2, -4)$
• и т.д.

Итог:

• Получается график, похожий на перевёрнутую «петлю» — левая часть идёт вниз, правая вверх.
• Симметрия по началу координат: $(-x, -y)$

Такая функция не совпадает с $x^2$, а является новой функцией, построенной по правилу нечётности:

$$g(x) = \begin{cases} x^2, & x \ge 0 \\ -(-x)^2 = -x^2, & x < 0 \end{cases} \Rightarrow g(x) = \textbf{sgn}(x) \cdot x^2$$

б) $g(x) = \sqrt{x}, \; x \ge 0$

Шаг 1: График при $x \ge 0$

• Значения:
  • $g(0) = 0$
  • $g(1) = 1$
  • $g(4) = 2$
  • $g(9) = 3$

Медленно растущая кривая из начала координат.

Обычная функция $\sqrt{x}$ — определена только при $x \ge 0$, поэтому не может быть нечётной.

Чтобы сделать её нечётной, нужно искусственно расширить её:

Шаг 2: Строим отражение относительно начала координат

• Если $g(x) = \sqrt{x}$, то:

$$g(-x) = -\sqrt{x} \Rightarrow g(x) = \textbf{sgn}(x) \cdot \sqrt{|x|}$$

• Например:
  • $g(2) = \sqrt{2} \Rightarrow g(-2) = -\sqrt{2}$
  • $g(4) = 2 \Rightarrow g(-4) = -2$

Итог:

• Левая ветвь зеркальна правой, но перевёрнута вниз.
• Кривая проходит через начало координат и опускается в третью четверть.

в) $g(x) = |x — 2| — 2, \; x \ge 0$

Шаг 1: Построим график на $x \ge 0$

Это модуль, сдвинутый по оси $x$ на 2 и по оси $y$ на -2.

• Вершина модуля находится в $x = 2$:

  $$|2 — 2| — 2 = -2$$

• Значения:
  • $g(0) = |0 — 2| — 2 = 2 — 2 = 0$
  • $g(2) = -2$
  • $g(3) = 1 — 2 = -1$
  • $g(4) = 2 — 2 = 0$

Получаем «V»-образный график, с вершиной в точке $(2, -2)$

Шаг 2: Строим отражение по началу координат

• $(2, -2) \rightarrow (-2, 2)$
• $(3, -1) \rightarrow (-3, 1)$
• $(4, 0) \rightarrow (-4, 0)$

Итог:

• Левая ветвь симметрична относительно начала координат
• Получается «галочка», но смещённая от центра

г) $g(x) = x — 3, \; x \ge 0$

Шаг 1: Это прямая с угловым коэффициентом 1 и сдвигом вниз на 3

• $g(0) = -3$
• $g(3) = 0$
• $g(6) = 3$

Прямая идёт вверх, начиная с $y = -3$

Шаг 2: Строим симметрию по началу координат

• $(0, -3) \rightarrow (0, 3)$
• $(3, 0) \rightarrow (-3, 0)$
• $(6, 3) \rightarrow (-6, -3)$

Итог:

• Получаем прямую, проходящую через начало координат, симметричную по точке $O(0, 0)$

Новая функция:

$$g(x)=\{\begin{array}{ll}x-3,& x\ge 0\\ -(-x-3)=x+3,& x<0\end{array}$$