ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 41 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Постройте график функции f, зная, что f — чётная функция и её значения при x?0 могут быть найдены по формуле:

а) f(3)=x^3; б) f(x)=vx; в) f(x)=|x-3|; г) f(x)=x-2.

Построить график четной функции:

а) \( f(x) = x^3, x \geq 0; \)

б) \( f(x) = \sqrt{x}, x \geq 0; \)

в) \( f(x) = |x — 3|, x \geq 0; \)

г) \( f(x) = x — 2, x \geq 0; \)

Функция $f(x)$ называется чётной, если:

$$f(-x) = f(x) \quad \text{для всех } x \text{ из области определения.}$$

Геометрически: график чётной функции симметричен относительно оси $y$.

Как строить график чётной функции по условию $x \ge 0$

Пошаговый алгоритм:

1. Построить график функции $f(x)$ для $x \ge 0$ (уже дано).
2. Для каждой точки графика правее оси $y$, построить симметричную точку слева:

   $$\text{Если есть точка } (x, y), \text{ то отразить её в } (-x, y).$$

3. Соединить все симметричные точки — получится график на всей области, симметричный относительно оси $y$.

а) $f(x) = x^3, \; x \ge 0$

Шаг 1: График при $x \ge 0$

• Это обычная кубическая функция: $f(x) = x^3$
• Значения:
  • $f(0) = 0^3 = 0$
  • $f(1) = 1$
  • $f(2) = 8$
  • $f(3) = 27$ — и т.д.

На графике видим кривую, идущую вверх при $x > 0$.
Но в условии указано только правая часть — от $x = 0$ и правее.

Важно:

• Кубическая функция не является чётной, потому что:

  $$f(-x) = (-x)^3 = -x^3 \ne f(x) \Rightarrow \text{функция нечётная}$$

• Однако по заданию требуется сделать её чётной, искусственно.

Шаг 2: Отразим график

• Берём точку $(1, 1)$ → зеркально: $(-1, 1)$
• $(2, 8) \rightarrow (-2, 8)$
• и т.д.

Итог:

• Получается симметричная кривая (выглядит как парабола вверх), хотя исходная функция была не чётной.
• Новый график выглядит как:

  $$f(x) = \begin{cases} x^3, & x \ge 0 \\ (-x)^3 = -x^3, & x < 0 \Rightarrow \text{заменяем на } x^3 \end{cases}$$

  но с модификацией, чтобы получился симметричный график.

б) $f(x) = \sqrt{x}, \; x \ge 0$

Шаг 1: График при $x \ge 0$

• Значения:
  • $f(0) = 0$
  • $f(1) = 1$
  • $f(4) = 2$
  • $f(9) = 3$

Это кривая, медленно растущая справа от нуля. Лежит только в первой четверти.

Корень из отрицательного числа — не определён в вещественных числах!

Значит, функция не определена при $x < 0$. Но нам нужно построить чётную функцию, значит, расширим определение:

Шаг 2: Отразим график

• Если $f(x) = \sqrt{x}$, то чётная версия:

  $$f_{\text{even}}(x) = \sqrt{|x|}$$

  Тогда:

  • $f(-1) = \sqrt{1} = 1$
  • $f(-4) = \sqrt{4} = 2$
  • и т.д.

Итог:

• Получается кривая, симметричная относительно оси $y$, с обеих сторон плавно поднимающаяся вверх.
• Вид графика: две ветви, расходящиеся от начала координат.

в) $f(x) = |x — 3|, \; x \ge 0$

Шаг 1: График при $x \ge 0$

Функция модуля — «V»-образная:

• Если $x \ge 3$, то:

  $$f(x) = x — 3$$

• Если $x < 3$, то:

  $$f(x) = -(x — 3) = 3 — x$$

На промежутке $x \ge 0$, строим «V» с вершиной в точке $(3, 0)$

Шаг 2: Отразим график

• Возьмём точки:
  • $(4, 1) \rightarrow (-4, 1)$
  • $(2, 1) \rightarrow (-2, 1)$
• Отразим все симметрично.

Итог:

• Получается «двойной модуль», симметричный график относительно оси $y$
• Форма: угол с вершиной в (3, 0), отражённый влево.

г) $f(x) = x — 2, \; x \ge 0$

Шаг 1: График при $x \ge 0$

• Прямая с угловым коэффициентом 1 и сдвигом вниз:

  $$f(0) = -2,\quad f(2) = 0,\quad f(4) = 2$$

Это обычная прямая, начинающаяся ниже оси $x$, идущая вверх под углом 45°.

Шаг 2: Отразим график

• Отразим точки:
  • $(1, -1) \rightarrow (-1, -1)$
  • $(2, 0) \rightarrow (-2, 0)$

Но это будет симметрия по оси $y$, и получится «угол».

Обратите внимание:

Оригинальная функция не является чётной.
Чтобы построить чётную функцию на основе этой — просто симметрично отразим прямую.

Итог:

• Получаем «V»-образный график с вершиной в точке $(0, -2)$
• Симметричный относительно оси $y$