ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 40 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Существуют ли такие значения коэффициентов k и b, при которых линейная функция y=kx+b является а) чётной; б) нечётной; в) чётной и нечётной?

Задана функция:

\( y = kx + b \);

а) Является четной:
\( k(-x) + b = kx + b; \)
\( -kx = kx, -k = k; \)
\( k = 0, y = b; \)
Ответ: да.

б) Является нечетной:
\( k(-x) + b = -(kx + b); \)
\( -kx + b = -kx — b; \)
Ответ: да.

в) Четная и нечетная:
\( k = 0, b = 0, y = 0; \)
Ответ: да.

Задана функция: \( y = kx + b \).

a) Является четной:

Для того чтобы доказать, что функция четная, нужно проверить, выполняется ли равенство \( y(-x) = y(x) \). Подставляем \( -x \) вместо \( x \) в выражение для функции \( y = kx + b \):

\( y(-x) = k(-x) + b = -kx + b \).

Мы видим, что \( y(-x) = -kx + b \), а \( y(x) = kx + b \). Для того чтобы функция была четной, должно выполняться \( y(-x) = y(x) \). Значит, нужно, чтобы:

\( -kx + b = kx + b \).

Сокращаем \( b \) с обеих сторон:

\( -kx = kx \).

Умножаем обе стороны на \( -1 \):

\( k = 0 \).

Если \( k = 0 \), то функция становится \( y = b \), что является константной функцией и, следовательно, является четной функцией для всех значений \( x \).

Ответ: Да, функция является четной при \( k = 0 \), а значение функции всегда \( y = b \).

b) Является нечетной:

Для того чтобы доказать, что функция нечетная, нужно проверить, выполняется ли равенство \( y(-x) = -y(x) \). Подставляем \( -x \) вместо \( x \) в выражение для функции \( y = kx + b \):

\( y(-x) = k(-x) + b = -kx + b \).

Теперь проверим, выполняется ли равенство \( y(-x) = -y(x) \):

\( -kx + b = -(kx + b) \).

Раскроем скобки справа:

\( -kx + b = -kx — b \).

Сравниваем обе стороны:

\( -kx + b = -kx — b \).

Это верно, если \( b = -b \), то есть \( b = 0 \).

Следовательно, функция является нечетной только при \( b = 0 \), и её вид будет \( y = kx \).

Ответ: Да, функция является нечетной при \( b = 0 \), и её вид будет \( y = kx \).

в) Четная и нечетная:

Чтобы функция была одновременно четной и нечетной, нужно, чтобы выполнялись оба условия: \( y(-x) = y(x) \) и \( y(-x) = -y(x) \).

Подставляем \( -x \) в функцию \( y = kx + b \):

\( y(-x) = k(-x) + b = -kx + b \).

Для того чтобы функция была четной, должно быть \( -kx + b = kx + b \), что мы уже доказали, приводит к \( k = 0 \).

Для того чтобы функция была нечетной, должно быть \( -kx + b = -(kx + b) \), что также требует \( b = 0 \).

Итак, функция может быть одновременно четной и нечетной только в случае \( k = 0 \) и \( b = 0 \), и её вид будет \( y = 0 \).

Ответ: Да, функция может быть одновременно четной и нечетной при \( k = 0 \) и \( b = 0 \), и её вид будет \( y = 0 \).