ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 37 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Является ли чётной или нечётной функция, заданная формулой:

а) ?(x)=8/(x^2-3); г) ?(x)=x^2, где -1?x?2;

б) ?(x)=9/(7x); д) ?(x)=x^3+x, где -3?x?1;

в) ?(x)=|x-2|; е) ?(x)=x^4, где x?(-5; -1]?[1; 5)?

Исследовать на четность:

а) \( \varphi(x) = \frac{8}{x^2 — 3} \);
Область определения:
\( x^2 — 3 \neq 0, x \neq \pm \sqrt{3} \);
Исследуем на четность:
\( \varphi(-x) = \frac{8}{(-x)^2 — 3} \);
\( \varphi(-x) = \frac{8}{x^2 — 3} = \varphi(x) \);
Ответ: четная.

б) \( \varphi(x) = \frac{9}{7x} \);
Область определения:
\( 7x \neq 0, x \neq 0 \);
Исследуем на четность:
\( \varphi(-x) = \frac{9}{7(-x)} = -\varphi(x) \);
Ответ: нечетная.

в) \( \varphi(x) = |x — 2| \);
Область определения:
\( D(x) = (-\infty; +\infty) \);
Исследуем на четность:
\( \varphi(-x) = |-x — 2| = |x + 2| \neq \varphi(x) \);
Ответ: ни четная, ни нечетная.

г) \( \varphi(x) = x^2 \);
Область определения:
\( D(x) = [-1; 2] \);
Ответ: ни четная, ни нечетная.

д) \( \varphi(x) = x^3 + x \);
Область определения:
\( D(x) = [-3; 1] \);
Ответ: ни четная, ни нечетная.

е) \( \varphi(x) = x^4 \);
Область определения:
\( D(x) = (-5; -1] \cup [1; 5) \);
Исследуем на четность:
\( \varphi(-x) = (-x)^4 = x^4 = \varphi(x) \);
Ответ: четная.

а) Рассмотрим функцию \( \varphi(x) = \frac{8}{x^2 — 3} \).

Область определения: \( x^2 — 3 \neq 0, x \neq \pm \sqrt{3} \), так как выражение в знаменателе не может быть равно нулю. Следовательно, область определения: \( x \in (-\infty, -\sqrt{3}) \cup (-\sqrt{3}, \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, +\infty) \).

Исследуем на четность:

Для проверки четности подставим \( -x \) вместо \( x \) в функцию \( \varphi(x) = \frac{8}{x^2 — 3} \):

\( \varphi(-x) = \frac{8}{(-x)^2 — 3} = \frac{8}{x^2 — 3} = \varphi(x) \).

Так как \( \varphi(-x) = \varphi(x) \), функция четная.

Ответ: \( \varphi(x) = \frac{8}{x^2 — 3} \) — четная функция, так как \( \varphi(-x) = \varphi(x) \).

б) Рассмотрим функцию \( \varphi(x) = \frac{9}{7x} \).

Область определения: \( 7x \neq 0, x \neq 0 \), так как выражение в знаменателе не может быть равно нулю. Следовательно, область определения: \( x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) \).

Исследуем на четность:

Для проверки четности подставим \( -x \) вместо \( x \) в функцию \( \varphi(x) = \frac{9}{7x} \):

\( \varphi(-x) = \frac{9}{7(-x)} = -\frac{9}{7x} = -\varphi(x) \).

Так как \( \varphi(-x) = -\varphi(x) \), функция нечётная.

Ответ: \( \varphi(x) = \frac{9}{7x} \) — нечётная функция, так как \( \varphi(-x) = -\varphi(x) \).

в) Рассмотрим функцию \( \varphi(x) = |x — 2| \).

Область определения: \( D(x) = (-\infty; +\infty) \), так как абсолютное значение определено для всех значений \( x \).

Исследуем на четность:

Для проверки четности подставим \( -x \) вместо \( x \) в функцию \( \varphi(x) = |x — 2| \):

\( \varphi(-x) = |-x — 2| = |x + 2| \).

Это выражение не равно \( \varphi(x) \), так как \( |x + 2| \neq |x — 2| \) для всех значений \( x \neq 2 \).

Ответ: \( \varphi(x) = |x — 2| \) — ни четная, ни нечётная функция.

г) Рассмотрим функцию \( \varphi(x) = x^2 \).

Область определения: \( D(x) = [-1; 2] \), так как функция определена на отрезке \( [-1; 2] \).

Исследуем на четность:

Для проверки четности подставим \( -x \) вместо \( x \) в функцию \( \varphi(x) = x^2 \):

\( \varphi(-x) = (-x)^2 = x^2 = \varphi(x) \).

Мы видим, что \( \varphi(x) \) — четная функция, так как \( \varphi(-x) = \varphi(x) \). Однако область определения ограничена, и функция не определена на всех вещественных числах.

Ответ: \( \varphi(x) = x^2 \) — четная функция на ограниченной области определения \( [-1; 2] \).

д) Рассмотрим функцию \( \varphi(x) = x^3 + x \).

Область определения: \( D(x) = [-3; 1] \), так как функция определена на отрезке \( [-3; 1] \).

Исследуем на четность:

Для проверки четности подставим \( -x \) вместо \( x \) в функцию \( \varphi(x) = x^3 + x \):

\( \varphi(-x) = (-x)^3 + (-x) = -x^3 — x = -\varphi(x) \).

Мы видим, что \( \varphi(x) \) — нечётная функция, так как \( \varphi(-x) = -\varphi(x) \), но область определения ограничена, и функция не определена на всех вещественных числах.

Ответ: \( \varphi(x) = x^3 + x \) — нечётная функция на ограниченной области определения \( [-3; 1] \).

е) Рассмотрим функцию \( \varphi(x) = x^4 \).

Область определения: \( D(x) = (-5; -1] \cup [1; 5) \), так как функция определена на указанных интервалах.

Исследуем на четность:

Для проверки четности подставим \( -x \) вместо \( x \) в функцию \( \varphi(x) = x^4 \):

\( \varphi(-x) = (-x)^4 = x^4 = \varphi(x) \).

Так как \( \varphi(-x) = \varphi(x) \), функция четная.

Ответ: \( \varphi(x) = x^4 \) — четная функция на ограниченной области определения \( D(x) = (-5; -1] \cup [1; 5) \).