ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 35 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что функция g нечётная, если:

а) g(x)=x^7-x^3; в) g(x)=(x-5)^2-(x+5)^2;

б) g(x)=1/(x^9+x); г) g(x)=|x+7|-|x-7|.

Функция является нечетной:

а) \( g(x) = x^7 — x^3 \);
Область определения:
\( D(x) = (-\infty; +\infty) \);
Исследуем на четность:
\( g(-x) = (-x)^7 — (-x)^3 \);
\( g(-x) = -x^7 + x^3 = -g(x) \);
Что и требовалось доказать.

б) \( g(x) = \frac{1}{x^9 + x} \);
Область определения:
\( x(x^8 + 1) \neq 0, x \neq 0 \);
Исследуем на четность:
\( g(-x) = \frac{1}{(-x)^9 + (-x)} = -g(x) \);
Что и требовалось доказать.

в) \( g(x) = (x — 5)^2 — (x + 5)^2 \);
Область определения:
\( D(x) = (-\infty; +\infty) \);
Исследуем на четность:
\( g(-x) = (-x — 5)^2 — (-x + 5)^2 = (x + 5)^2 — (x — 5)^2 = -g(x) \);
Что и требовалось доказать.

г) \( g(x) = |x + 7| — |x — 7| \);
Область определения:
\( D(x) = (-\infty; +\infty) \);
Исследуем на четность:
\( g(-x) = |-x + 7| — |-x — 7| = |x — 7| — |x + 7| = -g(x) \);
Что и требовалось доказать.

а) Рассматриваем функцию \( g(x) = x^7 — x^3 \).

Область определения: \( D(x) = (-\infty; +\infty) \), так как функция состоит из многочлена, который определён для всех значений \( x \).

Исследуем на нечётность:

Для проверки нечётности функции нужно проверить, выполняется ли равенство \( g(-x) = -g(x) \) для всех \( x \). Подставляем \( -x \) вместо \( x \) в исходную функцию:

\( g(-x) = (-x)^7 — (-x)^3 \).

Так как степени нечётные, получаем:

\( g(-x) = -x^7 + x^3 \).

Это выражение равно \( -g(x) \), то есть \( g(-x) = -g(x) \).

Ответ: \( g(x) = x^7 — x^3 \) — нечётная функция, так как \( g(-x) = -g(x) \).

б) Рассматриваем функцию \( g(x) = \frac{1}{x^9 + x} \).

Область определения: \( x(x^8 + 1) \neq 0, x \neq 0 \), так как функция не определена при \( x = 0 \), так как деление на ноль невозможно. Следовательно, область определения: \( x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \).

Исследуем на нечётность:

Для проверки нечётности подставим \( -x \) вместо \( x \) в функцию \( g(x) = \frac{1}{x^9 + x} \):

\( g(-x) = \frac{1}{(-x)^9 + (-x)} = \frac{1}{-x^9 — x} = -\frac{1}{x^9 + x} = -g(x) \).

Так как \( g(-x) = -g(x) \), функция нечётная.

Ответ: \( g(x) = \frac{1}{x^9 + x} \) — нечётная функция, так как \( g(-x) = -g(x) \).

в) Рассматриваем функцию \( g(x) = (x — 5)^2 — (x + 5)^2 \).

Область определения: \( D(x) = (-\infty; +\infty) \), так как функция состоит из квадратов и разностей, которые определены для всех значений \( x \).

Исследуем на нечётность:

Для проверки нечётности подставим \( -x \) вместо \( x \) в функцию \( g(x) = (x — 5)^2 — (x + 5)^2 \):

\( g(-x) = (-x — 5)^2 — (-x + 5)^2 = (x + 5)^2 — (x — 5)^2 \).

Мы видим, что это выражение равно \( -g(x) \), то есть \( g(-x) = -g(x) \).

Ответ: \( g(x) = (x — 5)^2 — (x + 5)^2 \) — нечётная функция, так как \( g(-x) = -g(x) \).

г) Рассматриваем функцию \( g(x) = |x + 7| — |x — 7| \).

Область определения: \( D(x) = (-\infty; +\infty) \), так как абсолютные значения определены для всех значений \( x \).

Исследуем на нечётность:

Для проверки нечётности подставим \( -x \) вместо \( x \) в функцию \( g(x) = |x + 7| — |x — 7| \):

\( g(-x) = |-x + 7| — |-x — 7| = |x — 7| — |x + 7| \).

Мы видим, что это выражение равно \( -g(x) \), то есть \( g(-x) = -g(x) \).

Ответ: \( g(x) = |x + 7| — |x — 7| \) — нечётная функция, так как \( g(-x) = -g(x) \).