ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 34 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что функция f чётная, если:

а) f(x)=x^4-7x^2; в) f(x)=5|x|;

б) f(x)=1/x^10; г) f(x)=(x-7)(x+5)+2x.

a) \( f(x) = x^4 — 7x^2 \);
Область определения:
\( D(x) = (-\infty; +\infty) \);
Исследуем на четность:
\( f(-x) = (-x)^4 — 7(-x)^2 \);
\( f(-x) = x^4 — 7x^2 = f(x) \);
Что и требовалось доказать.

б) \( f(x) = \frac{1}{x^{10}} \);
Область определения:
\( x^{10} \neq 0, x \neq 0 \);
Исследуем на четность:
\( f(-x) = \frac{1}{(-x)^{10}} = \frac{1}{x^{10}} = f(x) \);
Что и требовалось доказать.

в) \( f(x) = 5|x| \);
Область определения:
\( D(x) = (-\infty; +\infty) \);
Исследуем на четность:
\( f(-x) = 5|-x| = 5|x| = f(x) \);
Что и требовалось доказать.

г) \( f(x) = (x — 7)(x + 5) + 2x \);
\( f(x) = x^2 — 2x — 35 + 2x \);
\( f(x) = x^2 — 35 \);
Область определения:
\( D(x) = (-\infty; +\infty) \);
Исследуем на четность:
\( f(-x) = (-x)^2 — 35 = x^2 — 35 = f(x) \);
Что и требовалось доказать.

a) Рассмотрим функцию \( f(x) = x^4 — 7x^2 \).

Область определения: \( D(x) = (-\infty; +\infty) \), так как выражение \( x^4 — 7x^2 \) определено для всех значений \( x \).

Исследуем на четность:

Для того чтобы доказать четность функции, нужно проверить, выполняется ли равенство \( f(-x) = f(x) \) для всех \( x \). Подставляем \( -x \) вместо \( x \) в исходную функцию:

\( f(-x) = (-x)^4 — 7(-x)^2 \).

Преобразуем: \( (-x)^4 = x^4 \) (так как четная степень любого числа даёт положительный результат) и \( (-x)^2 = x^2 \) (так как квадрат числа также всегда неотрицателен):

\( f(-x) = x^4 — 7x^2 \).

Теперь видим, что \( f(-x) = f(x) \), следовательно, функция четная.

Ответ: \( f(x) = x^4 — 7x^2 \) — четная функция, так как \( f(-x) = f(x) \).

б) Рассмотрим функцию \( f(x) = \frac{1}{x^{10}} \).

Область определения: \( x^{10} \neq 0 \), то есть \( x \neq 0 \), так как деление на ноль невозможно. Следовательно, область определения: \( x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \).

Исследуем на четность:

Для проверки четности подставим \( -x \) вместо \( x \) в функцию \( f(x) = \frac{1}{x^{10}} \):

\( f(-x) = \frac{1}{(-x)^{10}} \).

Поскольку \( (-x)^{10} = x^{10} \) (так как степень чётная), получаем:

\( f(-x) = \frac{1}{x^{10}} = f(x) \).

Так как \( f(-x) = f(x) \), функция четная.

Ответ: \( f(x) = \frac{1}{x^{10}} \) — четная функция, так как \( f(-x) = f(x) \).

в) Рассмотрим функцию \( f(x) = 5|x| \).

Область определения: \( D(x) = (-\infty; +\infty) \), так как абсолютное значение определено для всех значений \( x \).

Исследуем на четность:

Для проверки четности подставим \( -x \) вместо \( x \) в функцию \( f(x) = 5|x| \):

\( f(-x) = 5|-x| \).

Поскольку \( |x| = |-x| \), получаем:

\( f(-x) = 5|x| = f(x) \).

Так как \( f(-x) = f(x) \), функция четная.

Ответ: \( f(x) = 5|x| \) — четная функция, так как \( f(-x) = f(x) \).

г) Рассмотрим функцию \( f(x) = (x — 7)(x + 5) + 2x \).

Рассмотрим выражение для \( f(x) \):

\( f(x) = (x — 7)(x + 5) + 2x \).

Распишем произведение:

\( f(x) = x^2 + 5x — 7x — 35 + 2x \), что даёт:

\( f(x) = x^2 — 2x — 35 + 2x \), и упрощаем:

\( f(x) = x^2 — 35 \).

Область определения: \( D(x) = (-\infty; +\infty) \), так как выражение \( x^2 — 35 \) определено для всех значений \( x \).

Исследуем на четность:

Для проверки четности подставим \( -x \) вместо \( x \) в функцию \( f(x) = x^2 — 35 \):

\( f(-x) = (-x)^2 — 35 = x^2 — 35 \).

Так как \( f(-x) = f(x) \), функция четная.

Ответ: \( f(x) = x^2 — 35 \) — четная функция, так как \( f(-x) = f(x) \).