ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 32 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Упростите выражение (a+v(a^2-x^2))/x^2, если x=2v(a-1), и найдите его значение при: а) a=1,5; б) a=3,87.

Известно, что \( x = 2\sqrt{a — 1}: \)

\( \frac{a + \sqrt{a^2 — x^2}}{x^2} = \frac{a + \sqrt{a^2 — 4(a — 1)}}{4(a — 1)} = \)

\( = \frac{a + \sqrt{a^2 — 4a + 4}}{4(a — 1)} = \frac{a + |a — 2|}{4(a — 1)}; \)

а) Если \( a = 1.5 \), тогда:

\( \frac{1.5 + |1.5 — 2|}{4(1.5 — 1)} = \frac{1.5 + 0.5}{4 \cdot (0.5)} = \frac{2}{2} = — 1; \)

б) Если \( a = 3.87 \), тогда:

\( \frac{3.87 + |3.87 — 2|}{4(3.87 — 1)} = \frac{3.87 + 1.87}{4 \cdot 2.87} = \frac{5.74}{11.48} = \frac{1}{2}; \)

Задача:

Известно, что \( x = 2\sqrt{a — 1} \). Необходимо упростить выражение:

\( \frac{a + \sqrt{a^2 — x^2}}{x^2} \) и найти его значение при:

а) \( a = 1.5 \);
б) \( a = 3.87 \).

Решение:

1. Известно, что \( x = 2\sqrt{a — 1} \), следовательно, подставляем это значение в исходное выражение:

\( \frac{a + \sqrt{a^2 — x^2}}{x^2} = \frac{a + \sqrt{a^2 — (2\sqrt{a — 1})^2}}{(2\sqrt{a — 1})^2} \)

2. Упростим выражение для \( x^2 \):
\( (2\sqrt{a — 1})^2 = 4(a — 1) \), подставим это в исходное выражение:

\( \frac{a + \sqrt{a^2 — 4(a — 1)}}{4(a — 1)} \)

3. Упростим корень в числителе:

Раскрываем скобки: \( a^2 — 4(a — 1) = a^2 — 4a + 4 \), тогда числитель становится:

\( a + \sqrt{a^2 — 4a + 4} \)

4. Следовательно, получаем выражение:

\( \frac{a + \sqrt{a^2 — 4a + 4}}{4(a — 1)} = \frac{a + |a — 2|}{4(a — 1)} \)

Теперь подставим значения для \( a \):

а) Если \( a = 1.5 \), тогда:

Подставляем \( a = 1.5 \) в полученное выражение:

\( \frac{1.5 + |1.5 — 2|}{4(1.5 — 1)} = \frac{1.5 + 0.5}{4 \cdot 0.5} = \frac{2}{2} = — 1 \)

б) Если \( a = 3.87 \), тогда:

Подставляем \( a = 3.87 \) в выражение:

\( \frac{3.87 + |3.87 — 2|}{4(3.87 — 1)} = \frac{3.87 + 1.87}{4 \cdot 2.87} = \frac{5.74}{11.48} = \frac{1}{2} \)

Ответ:

а) \( -1 \);
б) \( \frac{1}{2} \).