ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 31 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Докажите, что значение выражения (a+b)^2-2(a+b-1) при любых а и b является неотрицательным числом.
Доказательство неравенства
Необходимо доказать следующее неравенство:
\( (a + b)^2 — 2(a + b — 1) = \)
\( = a^2 + 2ab + b^2 — 2a — 2b + 2 \)
\( = (a + b)^2 — 2(a + b) + 1 + 1 = \)
\( = (a + b)^2 + 1 > 0 \)
Неравенство доказано.
Доказательство неравенства
Необходимо доказать следующее неравенство:
(a + b)2 — 2(a + b — 1) > 0
Шаг 1: Раскрываем выражения
Раскрываем квадрат:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Раскрываем второй множитель:
-2(a + b — 1) = -2a — 2b + 2
Подставляем в исходную формулу:
(a + b)2 — 2(a + b — 1) = a2 + 2ab + b2 — 2a — 2b + 2
Шаг 2: Перегруппируем выражение
Перегруппируем все члены:
= a2 + 2ab + b2 — 2a — 2b + 2
Сгруппируем члены для удобства:
= (a + b)2 — 2(a + b) + 2
Шаг 3: Переписываем выражение
Теперь перепишем выражение:
= (a + b)2 — 2(a + b) + 1 + 1
Шаг 4: Смотрим на финальную форму
Мы видим, что выражение можно представить в следующем виде:
= (a + b)2 + 1 > 0
Так как квадрат любого числа всегда неотрицателен (то есть (a + b)2 ≥ 0), то добавление 1 гарантирует, что выражение будет строго положительным:
(a + b)2 + 1 > 0
Заключение
Таким образом, мы доказали, что:
(a + b)2 — 2(a + b — 1) > 0
Неравенство доказано.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.