Учебник «Алгебра. 9 класс. Углубленный уровень» под редакцией Макарычева заслуженно считается одним из самых популярных и востребованных пособий для изучения алгебры в школах. Этот учебник выделяется своей структурой, содержанием и подходом к обучению, который позволяет глубже понять основные математические концепции.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 31 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Докажите, что значение выражения (a+b)^2-2(a+b-1) при любых а и b является неотрицательным числом.
Доказать неравенство:
\((a + b)^2 — 2(a + b — 1) =\)
\(= a^2 + 2ab + b^2 — 2a — 2b + 2 =\)
\(= (a + b)^2 — 2(a + b) + 1 + 1 =\)
\(= (a + b — 1)^2 + 1 > 0;\)
Неравенство доказано.
Задача: Докажите, что значение выражения \( (a + b)^2 — 2(a + b — 1) \) при любых \( a \) и \( b \) является неотрицательным числом.
Шаг 1: Начнем с того, что раскрываем скобки в выражении \( (a + b)^2 — 2(a + b — 1) \).
Первым делом раскроем квадрат в первом множителе:
\[
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.
\]
Теперь раскроем скобки во втором произведении \( — 2(a + b — 1) \):
\[
-2(a + b — 1) = -2a — 2b + 2.
\]
Теперь подставим эти выражения в исходное выражение \( (a + b)^2 — 2(a + b — 1) \):
\[
(a + b)^2 — 2(a + b — 1) = a^2 + 2ab + b^2 — 2a — 2b + 2.
\]
Шаг 2: Группируем подобные члены для упрощения:
Сначала перепишем выражение, сгруппировав все подобные элементы:
\[
a^2 + 2ab + b^2 — 2a — 2b + 2.
\]
Теперь сосредоточимся на частях выражения, которые можно выделить в квадрат:
Группа из первых трёх слагаемых \( a^2 + 2ab + b^2 \) представляет собой полный квадрат:
\[
a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2.
\]
Теперь выражение будет выглядеть так:
\[
(a + b)^2 — 2a — 2b + 2.
\]
Далее заметим, что \( -2a — 2b + 2 \) можно записать как:
\[
-2(a + b) + 2.
\]
Таким образом, выражение теперь выглядит так:
\[
(a + b)^2 — 2(a + b) + 2.
\]
Шаг 3: Далее перепишем выражение, используя дополнительно объединённую структуру:
\[
(a + b — 1)^2 + 1.
\]
Здесь мы видим, что \( (a + b — 1)^2 \) является квадратом числа, который всегда неотрицателен, то есть:
\[
(a + b — 1)^2 \geq 0 \quad \text{для всех значений } a \text{ и } b.
\]
Следовательно, \( (a + b — 1)^2 + 1 \geq 1 \), что всегда больше или равно 0.
Шаг 4: Таким образом, мы доказали, что выражение \( (a + b)^2 — 2(a + b — 1) \) всегда неотрицательно:
\[
(a + b)^2 — 2(a + b — 1) = (a + b — 1)^2 + 1 \geq 1 \geq 0.
\]
Ответ: Значение выражения \( (a + b)^2 — 2(a + b — 1) \) при любых \( a \) и \( b \) всегда является неотрицательным числом.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.