ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 26 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что f — убывающая функция, если:

а) f(x)=(1+5x-x^2)/x, где x > 0;

б) f(x)=(10+6x-2x^2)/(x-3), где x < 3.

Функция убывает:

а) \[ f(x) = \frac{1 + 5x — x^2}{x}, \, x > 0; \]
\[ f(x) = \frac{1}{x} + \frac{5x}{x} — \frac{x^2}{x} = \frac{1}{x} + 5 — x; \]

\[ y = 5 — x \] — убывает;

\[ y = -\frac{1}{x} \] — убывает;

Что и требовалось доказать.

б) \[ f(x) = \frac{10 + 6x — 2x^2}{x — 3}, \, x < 3; \]
\[ f(x) = \frac{10 — 2x(x — 3)}{x — 3} = \frac{10}{x — 3} — 2x; \]

\[ y = -2x \] — убывает;

\[ y = \frac{10}{x — 3} \] — убывает;

Что и требовалось доказать.

Задание: Доказать, что функция убывает.

а) Функция: \( f(x) = \frac{1 + 5x — x^2}{x}, \, x > 0 \)

Рассмотрим функцию \( f(x) = \frac{1 + 5x — x^2}{x} \). Упростим её:

\[
f(x) = \frac{1}{x} + \frac{5x}{x} — \frac{x^2}{x} = \frac{1}{x} + 5 — x.
\]

Теперь разобьём её на две части:

Первая часть: \( y = 5 — x \) убывает, так как её производная равна \( -1 \), что означает, что функция уменьшается с увеличением \( x \).

Вторая часть: \( y = -\frac{1}{x} \) убывает, так как её производная \( \frac{1}{x^2} \) положительна для \( x > 0 \), а функция с отрицательным коэффициентом в числителе убывает.

Таким образом, составная функция \( f(x) = \frac{1}{x} + 5 — x \) убывает на интервале \( x > 0 \).

Ответ: Функция убывает, как и требовалось доказать.

б) Функция: \( f(x) = \frac{10 + 6x — 2x^2}{x — 3}, \, x < 3 \)

Рассмотрим функцию \( f(x) = \frac{10 + 6x — 2x^2}{x — 3} \). Упростим её:

\[
f(x) = \frac{10 — 2x(x — 3)}{x — 3} = \frac{10}{x — 3} — 2x.
\]

Теперь разобьём её на две части:

Первая часть: \( y = -2x \) убывает, так как её производная равна \( -2 \), что означает, что функция уменьшается с увеличением \( x \).

Вторая часть: \( y = \frac{10}{x — 3} \) убывает, так как её производная \( -\frac{10}{(x — 3)^2} \) отрицательна для \( x < 3 \).

Таким образом, составная функция \( f(x) = \frac{10}{x — 3} — 2x \) убывает на интервале \( x < 3 \).

Ответ: Функция убывает, как и требовалось доказать.