ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 25 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что g — возрастающая функция, если:

а) g(x)=(x^2+2x-6)/x, где x > 0;

б) g(x)=(x^2-4x-5)/(x-2), где x > 2.

Функция возрастает:

а) \[ g(x) = \frac{x^2 + 2x — 6}{x}, \, x > 0; \]
\[ g(x) = \frac{x^2}{x} + \frac{2x}{x} — \frac{6}{x} = x + 2 — \frac{6}{x}; \]

\[ y = x + 2 \] — возрастает;

\[ y = -\frac{6}{x} \] — возрастает;

Что и требовалось доказать.

б) \[ g(x) = \frac{x^2 — 4x — 5}{x — 2}, \, x > 2; \]
\[ g(x) = \frac{(x — 2)^2 — 9}{x — 2} = x — 2 — \frac{9}{x — 2}; \]

\[ y = x — 2 \] — возрастает;

\[ y = -\frac{9}{x — 2} \] — возрастает;

Что и требовалось доказать.

Задание: Доказать, что функция возрастает.

а) Функция: \( g(x) = \frac{x^2 + 2x — 6}{x}, \, x > 0 \)

Рассмотрим функцию \( g(x) = \frac{x^2 + 2x — 6}{x} \) и упростим её:

\[
g(x) = \frac{x^2}{x} + \frac{2x}{x} — \frac{6}{x} = x + 2 — \frac{6}{x}.
\]

Теперь разобьём её на две части:

Первая часть: \( y = x + 2 \) возрастает, так как её производная равна 1, что означает, что функция увеличивается с увеличением \( x \).

Вторая часть: \( y = -\frac{6}{x} \) убывает, так как её производная \( \frac{6}{x^2} \) положительна для \( x > 0 \), а функция с отрицательным коэффициентом в числителе убывает.

Таким образом, составная функция \( g(x) = x + 2 — \frac{6}{x} \) возрастает, так как обе части функции увеличиваются на интервале \( x > 0 \).

Ответ: Функция возрастает, как и требовалось доказать.

б) Функция: \( g(x) = \frac{x^2 — 4x — 5}{x — 2}, \, x > 2 \)

Рассмотрим функцию \( g(x) = \frac{x^2 — 4x — 5}{x — 2} \) и упростим её:

\[
g(x) = \frac{(x — 2)^2 — 9}{x — 2} = x — 2 — \frac{9}{x — 2}.
\]

Теперь разобьём её на две части:

Первая часть: \( y = x — 2 \) возрастает, так как её производная равна 1, что означает, что функция увеличивается с увеличением \( x \).

Вторая часть: \( y = -\frac{9}{x — 2} \) убывает, так как её производная \( \frac{9}{(x — 2)^2} \) положительна для \( x > 2 \), а функция с отрицательным коэффициентом в числителе убывает.

Таким образом, составная функция \( g(x) = x — 2 — \frac{9}{x — 2} \) возрастает, так как обе части функции увеличиваются на интервале \( x > 2 \).

Ответ: Функция возрастает, как и требовалось доказать.