ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 2 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что функция y=|x| убывает на промежутке (-?; 0] и возрастает на промежутке [0; +?).

Дана функция: \( f(x) = |x| \);

1) Если \( x < 0 \), тогда: \( f(x) = (-x) \) — убывает;

2) Если \( x \geq 0 \), тогда: \( f(x) = x \) — возрастает;

Что и требовалось доказать.

Дана функция: \( f(x) = |x| \);

Функция \( f(x) = |x| \) представляет собой абсолютное значение числа \( x \). Эта функция имеет разные выражения в зависимости от знака \( x \). Рассмотрим два случая:

1) Если \( x < 0 \), то \( f(x) = |x| = -x \). В этом случае, \( x \) отрицательно, и для того чтобы получить положительное значение, мы должны умножить \( x \) на \( -1 \). То есть, для всех значений \( x < 0 \), функция \( f(x) = -x \), и она будет убывать, так как с увеличением \( x \) по модулю (например, переход от \( x = -1 \) к \( x = -2 \)), значение функции уменьшится (от 1 до 2). Если мы рассмотрим график функции \( f(x) = -x \) для \( x < 0 \), мы увидим, что он наклонен вниз, что также подтверждает убывание функции в этом интервале.

2) Если \( x \geq 0 \), то \( f(x) = |x| = x \). В этом случае \( x \) уже положительно, и функция будет просто равна \( x \). Функция \( f(x) = x \) для значений \( x \geq 0 \) возрастает, так как при увеличении \( x \), значение функции также увеличивается. Например, для перехода от \( x = 1 \) к \( x = 2 \), \( f(x) \) увеличивается с 1 до 2. На графике эта часть функции будет представлена прямой, наклоненной вверх.

Что и требовалось доказать: функция \( f(x) = |x| \) убывает на интервале \( x < 0 \) и возрастает на интервале \( x \geq 0 \).