ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 19 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что функция f возрастающая, если:

а) f(x)=vx-1/vx; в) f(x)=x^2+vx;

б) f(x)=2x-1-1/(x+2), где x > -2; г) f(x)=(x+4)/(2-x), где x > 2.

а)
\[
f(x) = \sqrt{x} — \frac{1}{\sqrt{x}};
\]

\[
y = \sqrt{x} \geq 0 \text{ — возрастает;}
\]

\[
y = -\frac{1}{\sqrt{x}} \text{ — возрастает;}
\]

\[
f(x) = \sqrt{x} — \frac{1}{\sqrt{x}} \text{ — возрастает;}
\]

Что и требовалось доказать.

б)
\[
f(x) = 2x — 1 — \frac{1}{x + 2}, \quad x > -2;
\]

\[
y = 2x — 1 \text{ — возрастает;}
\]

\[
y = x + 2 > 0 \text{ — возрастает;}
\]

\[
y = -\frac{1}{x + 2} \text{ — возрастает;}
\]

\[
f(x) = 2x — 1 — \frac{1}{x + 2} \text{ — возрастает;}
\]

Что и требовалось доказать.

в)
\[
f(x) = x^2 + \sqrt{x};
\]

\[
y = \sqrt{x} \text{ — возрастает;}
\]

\[
y = x^2, \quad x > 0 \text{ — возрастает;}
\]

\[
f(x) = x^2 + \sqrt{x} \text{ — возрастает;}
\]

Что и требовалось доказать.

г)
\[
f(x) = \frac{x + 4}{2 — x}, \quad x > 2;
\]

\[
y = x + 4 \text{ — возрастает;}
\]

\[
y = 2 — x < 0 \text{ — убывает;}
\]

\[
y = -\frac{1}{2 — x} \text{ — возрастает;}
\]

\[
f(x) = \frac{x + 4}{2 — x} \text{ — возрастает;}
\]

Что и требовалось доказать.

Задание: Доказать, что функция возрастает.

а) Функция: \( f(x) = \sqrt{x} — \frac{1}{\sqrt{x}} \)

Рассмотрим функцию \( f(x) = \sqrt{x} — \frac{1}{\sqrt{x}} \).

Для выражения \( \sqrt{x} \): функция \( y = \sqrt{x} \) возрастает, так как её производная равна \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \), которая положительна для \( x > 0 \).

Для выражения \( -\frac{1}{\sqrt{x}} \): функция \( y = -\frac{1}{\sqrt{x}} \) убывает, так как её производная \( \frac{1}{2x^{3/2}} \) отрицательна для \( x > 0 \), то есть она убывает.

Для функции \( f(x) = \sqrt{x} — \frac{1}{\sqrt{x}} \): так как первая функция возрастает, а вторая убывает, результат будет возрастать для \( x > 0 \).

Ответ: Функция \( f(x) = \sqrt{x} — \frac{1}{\sqrt{x}} \) возрастает, как и требовалось доказать.

б) Функция: \( f(x) = 2x — 1 — \frac{1}{x + 2}, \quad x > -2 \)

Рассмотрим функцию \( f(x) = 2x — 1 — \frac{1}{x + 2} \).

Для выражения \( 2x — 1 \): это линейная функция, которая возрастает, так как её производная равна \( 2 \), что положительно.

Для выражения \( \frac{1}{x + 2} \): функция \( y = \frac{1}{x + 2} \) убывает, так как её производная \( -\frac{1}{(x + 2)^2} \) отрицательна для \( x > -2 \).

Для функции \( f(x) = 2x — 1 — \frac{1}{x + 2} \): так как линейная часть функции возрастает, а дробная часть убывает, то функция будет возрастать на \( x > -2 \).

Ответ: Функция \( f(x) = 2x — 1 — \frac{1}{x + 2} \) возрастает, как и требовалось доказать.

в) Функция: \( f(x) = x^2 + \sqrt{x} \)

Рассмотрим функцию \( f(x) = x^2 + \sqrt{x} \).

Для выражения \( x^2 \): функция \( y = x^2 \) возрастает для \( x > 0 \), так как её производная равна \( 2x \), которая положительна для \( x > 0 \).

Для выражения \( \sqrt{x} \): функция \( y = \sqrt{x} \) возрастает, так как её производная равна \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \), которая положительна для \( x > 0 \).

Для функции \( f(x) = x^2 + \sqrt{x} \): так как обе функции возрастает на \( x > 0 \), их сумма также будет возрастать.

Ответ: Функция \( f(x) = x^2 + \sqrt{x} \) возрастает, как и требовалось доказать.

г) Функция: \( f(x) = \frac{x + 4}{2 — x}, \quad x > 2 \)

Рассмотрим функцию \( f(x) = \frac{x + 4}{2 — x} \).

Для выражения \( x + 4 \): это линейная функция, которая возрастает, так как её производная равна \( 1 \), что положительно.

Для выражения \( 2 — x \): это линейная функция, которая убывает, так как её производная равна \( -1 \), что отрицательно.

Для функции \( f(x) = \frac{x + 4}{2 — x} \): так как числитель возрастает, а знаменатель убывает, то результат будет возрастать на \( x > 2 \).

Ответ: Функция \( f(x) = \frac{x + 4}{2 — x} \) возрастает, как и требовалось доказать.