ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 184 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

При каком значении параметра a функция y=ax^2-6x+1:

а) принимает положительные значения на промежутках (-?; 1/4) и (1/2; +?);

б) принимает отрицательные значения на промежутках (-?; -1) и (1/7; +?);

в) имеет отрицательные значения на промежутке (1/5; 1);

г) имеет положительные значения на промежутке (-1/2; 1/8);

д) является монотонной на всей области определения?

Дана функция:
\[ y = ax^2 — 6x + 1; \]

а) \( y > 0, \, x \in \left(-\infty; \frac{1}{4}\right) \cup \left(\frac{1}{2}; +\infty\right): \)
\[
a \left(x — \frac{1}{4}\right) \left(x — \frac{1}{2}\right) > 0, \, a > 0;
\]

\[
a \left(x^2 — \frac{1}{4}x — \frac{1}{2}x + \frac{1}{8}\right) > 0;
\]

\[
ax^2 — \frac{3}{4}ax + \frac{1}{8}a > 0;
\]

\[
\frac{3}{4}a = 6, \, a = 8;
\]

\[
\frac{1}{8}a = 1, \, a = 8;
\]
Ответ: \( a \geq 8. \)

б) \( y < 0, \, x \in (-\infty; -1) \cup \left(\frac{1}{7}; +\infty\right): \)
\[
a(x + 1) \left(x — \frac{1}{7}\right) > 0, \, a < 0;
\]

\[
a \left(x^2 — \frac{1}{7}x + x — \frac{1}{7}\right) > 0;
\]

\[
ax^2 + \frac{6}{7}ax — \frac{1}{7}a > 0;
\]

\[
\frac{6}{7}a = 6, \, a = -7;
\]

\[
-\frac{1}{7}a = 1, \, a = -7;
\]
Ответ: \( a \leq -7. \)

в) \( y < 0, \, x \in \left(\frac{1}{5}; 1\right): \)
\[
a \left(x — \frac{1}{5}\right)(x — 1) < 0, \, a > 0;
\]

\[
a \left(x^2 — \frac{1}{5}x — x + \frac{1}{5}\right) < 0;
\]

\[
ax^2 — \frac{6}{5}ax + \frac{1}{5}a < 0;
\]

\[
\frac{6}{5}a = 6, \, a = 5;
\]

\[
\frac{1}{5}a = 1, \, a = 5;
\]

Ответ: \( a \leq 5. \)

г) \( y > 0, \, x \in \left(-\frac{1}{2}; -\frac{1}{8}\right): \)
\[
a \left(x + \frac{1}{2}\right)\left(x — \frac{1}{8}\right) < 0, \, a < 0;
\]

\[
a \left(x^2 — \frac{1}{8}x + \frac{1}{2}x — \frac{1}{16}\right) < 0;
\]

\[
ax^2 + \frac{3}{8}ax — \frac{1}{16}a < 0;
\]

\[
\frac{3}{8}a = -6, \, a = -16;
\]

\[
-\frac{1}{16}a = 1, \, a = -16;
\]

Ответ: \( a \geq -16. \)

д) Функция монотонная:
\[
a = 0, \, y(x) = 1 — 6x;
\]
Ответ: \( a = 0. \)

Задана функция:

\[
y = ax^2 — 6x + 1;
\]

а) \( y > 0, \, x \in \left(-\infty; \frac{1}{4}\right) \cup \left(\frac{1}{2}; +\infty\right) \)

Исходя из условий задачи, рассматриваем неравенство для функции:

\[
a \left(x — \frac{1}{4}\right) \left(x — \frac{1}{2}\right) > 0, \, a > 0.
\]

Шаг 1: Раскроем скобки:

\[
a \left(x^2 — \frac{1}{4}x — \frac{1}{2}x + \frac{1}{8}\right) > 0;
\]

Шаг 2: Приведём подобные члены:

\[
a(x^2 — \frac{3}{4}x + \frac{1}{8}) > 0.
\]

Шаг 3: Теперь найдём значения для \( a \):

\[
\frac{3}{4}a = 6, \quad a = 8;
\]

И подставим для второго коэффициента:

\[
\frac{1}{8}a = 1, \quad a = 8.
\]

Ответ: \( a \geq 8 \).

б) \( y < 0, \, x \in (-\infty; -1) \cup \left(\frac{1}{7}; +\infty\right) \)

Рассмотрим неравенство:

\[
a(x + 1) \left(x — \frac{1}{7}\right) > 0, \, a < 0.
\]

Шаг 1: Раскроем скобки:

\[
a(x^2 — \frac{1}{7}x + x — \frac{1}{7}) > 0;
\]

Шаг 2: Приведём подобные члены:

\[
ax^2 + \frac{6}{7}ax — \frac{1}{7}a > 0;
\]

Шаг 3: Теперь найдём значения для \( a \):

\[
\frac{6}{7}a = 6, \quad a = -7;
\]

И подставим для второго коэффициента:

\[
-\frac{1}{7}a = 1, \quad a = -7.
\]

Ответ: \( a \leq -7 \).

в) \( y < 0, \, x \in \left(\frac{1}{5}; 1\right) \)

Рассмотрим неравенство:

\[
a \left(x — \frac{1}{5}\right)(x — 1) < 0, \, a > 0.
\]

Шаг 1: Раскроем скобки:

\[
a(x^2 — \frac{1}{5}x — x + \frac{1}{5}) < 0;
\]

Шаг 2: Приведём подобные члены:

\[
ax^2 — \frac{6}{5}ax + \frac{1}{5}a < 0;
\]

Шаг 3: Теперь найдём значения для \( a \):

\[
\frac{6}{5}a = 6, \quad a = 5;
\]

И подставим для второго коэффициента:

\[
\frac{1}{5}a = 1, \quad a = 5.
\]

Ответ: \( a \leq 5 \).

г) \( y > 0, \, x \in \left(-\frac{1}{2}; -\frac{1}{8}\right) \)

Рассмотрим неравенство:

\[
a \left(x + \frac{1}{2}\right)\left(x — \frac{1}{8}\right) < 0, \, a < 0.
\]

Шаг 1: Раскроем скобки:

\[
a(x^2 — \frac{1}{8}x + \frac{1}{2}x — \frac{1}{16}) < 0;
\]

Шаг 2: Приведём подобные члены:

\[
ax^2 + \frac{3}{8}ax — \frac{1}{16}a < 0;
\]

Шаг 3: Теперь найдём значения для \( a \):

\[
\frac{3}{8}a = -6, \quad a = -16;
\]

И подставим для второго коэффициента:

\[
-\frac{1}{16}a = 1, \quad a = -16.
\]

Ответ: \( a \geq -16 \).

д) Функция монотонная:

Для того чтобы функция была монотонной, коэффициент \( a \) должен быть равен нулю, так как только тогда линейная функция будет монотонной.

Ответ: \( a = 0 \).