ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 183 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

При каком значении параметра p функция y=3x^2+6px+4p^2:

а) возрастает на промежутке [4; +?);

б) убывает на промежутке (—?; —5]?

Задана функция:
\[
y = 3x^2 + 6px + 4p^2;
\]

\[
x_0 = -\frac{6p}{2 \cdot 3} = -p;
\]

а) Возрастает на \([4; +\infty):\)
\[
-p \leq 4, \, p \geq -4;
\]

Ответ: \(p \in [-4; +\infty).\)

б) Убывает на \((-\infty; -5]:\)
\[
-p \geq 5, \, p \leq 5;
\]

Ответ: \(p \in (-\infty; 5].\)

Задана функция:

\[
y = 3x^2 + 6px + 4p^2;
\]

Для нахождения области, где функция возрастает или убывает, вычислим производную функции по \( x \):

\[
y’ = \frac{d}{dx}(3x^2 + 6px + 4p^2) = 6x + 6p.
\]

Теперь исследуем, при каких значениях \( p \) функция возрастает или убывает, основываясь на её производной.

а) Функция возрастает на \( [4; +\infty) \):

Для того чтобы функция возрастала, производная должна быть больше или равна нулю:

\[
6x + 6p \geq 0.
\]

Подставим \( x = 4 \) (так как функция возрастает на интервале \( [4; +\infty) \)):

\[
6 \cdot 4 + 6p \geq 0 \quad \Rightarrow \quad 24 + 6p \geq 0 \quad \Rightarrow \quad p \geq -4.
\]

Ответ: \( p \in [-4; +\infty) \).

б) Функция убывает на \( (-\infty; -5] \):

Для того чтобы функция убывала, производная должна быть меньше или равна нулю:

\[
6x + 6p \leq 0.
\]

Подставим \( x = -5 \) (так как функция убывает на интервале \( (-\infty; -5] \)):

\[
6 \cdot (-5) + 6p \leq 0 \quad \Rightarrow \quad -30 + 6p \leq 0 \quad \Rightarrow \quad p \leq 5.
\]

Ответ: \( p \in (-\infty; 5] \).