ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 18 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что функция f является возрастающей, если:

а) f(x)=1/(7-x), где x < 7; в) f(x)=x|x|;

б) f(x)=(x-2)^2, где x > 2; г) f(x)=1/v(1-x).

Функция возрастает:

а)
\[
f(x) = \frac{1}{7 — x}, \quad x < 7;
\]

\[
y = 7 — x > 0 \text{ — убывает;}
\]

\[
f(x) = \frac{1}{7 — x} \text{ — возрастает;}
\]

Что и требовалось доказать.

б)
\[
f(x) = (x — 2)^2, \quad x > 2;
\]

\[
y = x — 2 > 0 \text{ — возрастает;}
\]

\[
y = x^2, \quad x > 0 \text{ — возрастает;}
\]

\[
f(x) = (x — 2)^2 \text{ — возрастает;}
\]

Что и требовалось доказать.

в)
\[
f(x) = x|x|;
\]

\[
f(x > 0) = x^2 \text{ — возрастает;}
\]

\[
f(x < 0) = -x^2 \text{ — возрастает;}
\]

Что и требовалось доказать.

г)
\[
f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 — x}};
\]

\[
y = 1 — x \text{ — убывает;}
\]

\[
y = \sqrt{1 — x} > 0 \text{ — убывает;}
\]

\[
f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 — x}} \text{ — возрастает;}
\]

Что и требовалось доказать.

Задание: Доказать, что функция возрастает.

а) Функция: \( f(x) = \frac{1}{7 — x}, \quad x < 7 \)

Рассмотрим функцию \( f(x) = \frac{1}{7 — x} \).

Для выражения \( 7 — x \): функция \( y = 7 — x \) убывает, так как её производная равна \( -1 \), что означает уменьшение значений функции при увеличении \( x \).

Для функции \( f(x) = \frac{1}{7 — x} \): так как \( 7 — x \) убывает, а \( \frac{1}{x} \) возрастает, то функция \( f(x) = \frac{1}{7 — x} \) возрастает на интервале \( x < 7 \).

Ответ: Функция \( f(x) = \frac{1}{7 — x} \) возрастает, как и требовалось доказать.

б) Функция: \( f(x) = (x — 2)^2, \quad x > 2 \)

Рассмотрим функцию \( f(x) = (x — 2)^2 \).

Для выражения \( x — 2 \): функция \( y = x — 2 \) возрастает, так как её производная равна \( 1 \), что означает увеличение значений функции при увеличении \( x \).

Для функции \( f(x) = (x — 2)^2 \): так как \( x — 2 \) возрастает, то функция \( f(x) = (x — 2)^2 \) возрастает на интервале \( x > 2 \).

Ответ: Функция \( f(x) = (x — 2)^2 \) возрастает, как и требовалось доказать.

в) Функция: \( f(x) = x|x| \)

Рассмотрим функцию \( f(x) = x|x| \).

Для \( x > 0 \): \( f(x) = x^2 \), функция \( f(x) = x^2 \) возрастает, так как её производная равна \( 2x \), которая положительна для \( x > 0 \).

Для \( x < 0 \): \( f(x) = -x^2 \), функция \( f(x) = -x^2 \) убывает, так как её производная равна \( -2x \), которая отрицательна для \( x < 0 \).

Ответ: Функция \( f(x) = x|x| \) возрастает для \( x > 0 \) и убывает для \( x < 0 \), как и требовалось доказать.

г) Функция: \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 — x}} \)

Рассмотрим функцию \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 — x}} \).

Для выражения \( 1 — x \): функция \( y = 1 — x \) убывает, так как её производная равна \( -1 \), что означает уменьшение значений функции при увеличении \( x \).

Для функции \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 — x}} \): так как \( 1 — x \) убывает, а \( \frac{1}{\sqrt{x}} \) возрастает, то функция \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 — x}} \) возрастает на интервале \( x < 1 \).

Ответ: Функция \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 — x}} \) возрастает, как и требовалось доказать.