ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 177 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите значения аргумента, при которых функция g(x) имеет наибольшее или наименьшее значения (если они существуют), и соответствующие им значения функции:

а) \( g(x) = \frac{4x^2}{2x^2 + 3} \);

б) \( g(x) = \frac{1}{x^2 — 6x + 12} \);

в) \( g(x) = 8 — \sqrt{1 — 3x^2 + 4\sqrt{3x + 4}} \);

г) \( g(x) = \frac{x^2 + 18x + 81}{x^2 + 18x + 80} \)

Наибольшее и наименьшее значение данной функции:

а) \( g(x) = \frac{4x^2}{2x^2 + 3} \);

\[
y = \frac{4x^2}{2x^2 + 3};
\]

\[
2yx^2 + 3y = 4x^2;
\]

\[
x^2(4 — 2y) = 3y;
\]

\[
x^2 = \frac{3y}{4 — 2y} \geq 0;
\]

\[
\frac{3y}{2y — 4} \leq 0;
\]

\[
0 \leq y \leq 2;
\]

\[
y = 0, \quad x = \sqrt{0} = 0;
\]

Ответ: \( g_{\text{наиб}} = g(0) = 0; \quad g_{\text{наим}} \) — отсутствует.

б) \( g(x) = \frac{1}{x^2 — 6x + 12} \);

\[
x_0 = \frac{-6}{2 \cdot 1} = 3;
\]

\[
y_0 = 9 — 18 + 12 = 3;
\]

\[
x^2 — 6x + 12 \geq 3;
\]

\[
\frac{1}{x^2 — 6x + 12} \leq \frac{1}{3};
\]

Ответ: \( g_{\text{наиб}} = g(3) = \frac{1}{3}; \quad g_{\text{наим}} \) — отсутствует.

в) \( g(x) = 8 — \sqrt{1 — 3x^2 + 4\sqrt{3x + 4}} \);

\[
x_0 = \frac{-4\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = -\frac{2}{\sqrt{3}};
\]

\[
y_0 = 4 — 8 + 4 = 8 — 8 = 0;
\]

\[
3x^2 + 4\sqrt{3x + 4} \geq 0;
\]

Ответ: \( g_{\text{наиб}} = g(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = 8; \quad g_{\text{наим}} = g(-\frac{2}{\sqrt{3}}) = 7. \)

г) \( g(x) = \frac{x^2 + 18x + 81}{x^2 + 18x + 80} \);

\[
y = \frac{x^2 + 18x + 81}{x^2 + 18x + 80};
\]

\[
yx^2 + 18yx + 80y = x^2 + 18x + 81;
\]

\[
(y — 1)x^2 + (18y — 18)x + (80y — 81) = 0;
\]

\[
324y^2 — 648y + 324 — 320y^2 + 644y — 324 \geq 0;
\]

\[
4y^2 — 4y \geq 0, \quad 4y(y — 1) \geq 0, \quad y \leq 0, \quad y \geq 1;
\]

Ответ: нет таких значений.

а) $g(x) = \dfrac{4x^2}{2x^2 + 3}$

Шаг 1. Вводим переменную:

$$y = \frac{4x^2}{2x^2 + 3}$$

Шаг 2. Выражаем из уравнения:

Домножим обе части на знаменатель:

$$y(2x^2 + 3) = 4x^2 \Rightarrow 2yx^2 + 3y = 4x^2$$

Шаг 3. Переносим всё в одну сторону:

$$x^2(4 — 2y) = 3y \Rightarrow x^2 = \frac{3y}{4 — 2y}$$

Шаг 4. Условие существования

Поскольку $x^2 \geq 0$, значит:

$$\frac{3y}{4 — 2y} \geq 0$$

Рассматриваем знак дроби:

• $3y \geq 0 \Rightarrow y \geq 0$
• $4 — 2y > 0 \Rightarrow y < 2$

Совместно:

$$0 \leq y < 2$$

Шаг 5. Наименьшее и наибольшее значения

• Наименьшее: при $x = 0 \Rightarrow g(0) = 0$
• Наибольшего нет, т.к. значение $y$ стремится к 2, но никогда его не достигает.

Ответ:

$$g_{\min} = 0, \quad g_{\max} \text{ — отсутствует}$$

б) $g(x) = \dfrac{1}{x^2 — 6x + 12}$

Шаг 1. Это дробь — знаменатель всегда $> 0$

Функция определена при всех $x$, и выражение под дробью — парабола вверх. Найдём её минимум.

Шаг 2. Вершина параболы:

$$x_0 = \frac{-(-6)}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$$

Шаг 3. Подставим в выражение:

$$g(3) = \frac{1}{3^2 — 6\cdot3 + 12} = \frac{1}{9 — 18 + 12} = \frac{1}{3}$$

Шаг 4. $g(x) \geq \dfrac{1}{3}$, а максимума нет, так как $x^2 — 6x + 12 \to \infty \Rightarrow g(x) \to 0$

Ответ:

$$g_{\min} = \frac{1}{3}, \quad g_{\max} \text{ — отсутствует}$$

в) $g(x) = 8 — \sqrt{1 — \sqrt{3x^2 + 4\sqrt{3}x + 4}}$

Шаг 1. Подкоренное выражение должно быть определено:

Внутренний корень:

$$\sqrt{3x^2 + 4\sqrt{3}x + 4} \text{ определён при } 3x^2 + 4\sqrt{3}x + 4 \geq 0$$

Внешний:

$$1 — \sqrt{3x^2 + 4\sqrt{3}x + 4} \geq 0 \Rightarrow \sqrt{3x^2 + 4\sqrt{3}x + 4} \leq 1$$

Шаг 2. Оценка значений:

Из предыдущего:

$$0 \leq \sqrt{1 — \sqrt{3x^2 + 4\sqrt{3}x + 4}} \leq 1 \Rightarrow 7 \leq g(x) \leq 8$$

Шаг 3. Минимум при максимальном значении внутреннего корня:

$$\sqrt{3x^2 + 4\sqrt{3}x + 4} = 1 \Rightarrow 3x^2 + 4\sqrt{3}x + 4 = 1 \Rightarrow 3x^2 + 4\sqrt{3}x + 3 = 0$$

Шаг 4. Найдём корни:

$$D = (4\sqrt{3})^2 — 4 \cdot 3 \cdot 3 = 48 — 36 = 12$$ $$x_{1,2} = \frac{-4\sqrt{3} \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 3} = \frac{-4\sqrt{3} \pm 2\sqrt{3}}{6} = \left\{ -\sqrt{3}, -\frac{2}{\sqrt{3}} \right\}$$

Ответ:

$$g_{\max} = 8 \text{ при } x = -\sqrt{3} \text{ и } x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$$ $$g_{\min} = 7 \text{ при } x = -\frac{2}{\sqrt{3}}$$

г) $g(x) = \dfrac{x^2 + 18x + 81}{x^2 + 18x + 80}$

Шаг 1. Домножим обе части:

$$y = \frac{x^2 + 18x + 81}{x^2 + 18x + 80} \Rightarrow y(x^2 + 18x + 80) = x^2 + 18x + 81$$

Шаг 2. Переносим всё в одну сторону:

$$yx^2 + 18yx + 80y = x^2 + 18x + 81 \Rightarrow (y — 1)x^2 + 18(y — 1)x + (80y — 81) = 0$$

Шаг 3. Требуем, чтобы уравнение имело корни:

Рассматриваем дискриминант:

$$D = [18(y — 1)]^2 — 4(y — 1)(80y — 81)$$

Решаем:

$$324y^2 — 648y + 324 — 320y^2 + 644y — 324 \geq 0 \Rightarrow 4y^2 — 4y \geq 0 \Rightarrow 4y(y — 1) \geq 0$$

Шаг 4. Решаем неравенство:

$$y(y — 1) \geq 0 \Rightarrow y \leq 0 \text{ или } y \geq 1$$

Но $\dfrac{x^2 + 18x + 81}{x^2 + 18x + 80} \to 1$ при больших $x$, и не достигает 0 или больше 1.

Реальных значений нет.

Ответ:
Значения отсутствуют — нет таких $y$.