ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 177 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите значения аргумента, при которых функция g(x) имеет наибольшее или наименьшее значения (если они существуют), и соответствующие им значения функции:

а) g(x)=4x^2/(2x^2+3); в) g(x)=8-v(1-v(3x^2+4v3x+4));

б) g(x)=1/(x^2-6x+12); г) g(x)=(x^2+18x+81)/(x^2+18x+80).

Наибольшее и наименьшее значение данной функции:

а) \( g(x) = \frac{4x^2}{2x^2 + 3} \);

\[
y = \frac{4x^2}{2x^2 + 3};
\]

\[
2yx^2 + 3y = 4x^2;
\]

\[
x^2(4 — 2y) = 3y;
\]

\[
x^2 = \frac{3y}{4 — 2y} \geq 0;
\]

\[
\frac{3y}{2y — 4} \leq 0;
\]

\[
0 \leq y \leq 2;
\]

\[
y = 0, \quad x = \sqrt{0} = 0;
\]

Ответ: \( g_{\text{наиб}} = g(0) = 0; \quad g_{\text{наим}} \) — отсутствует.

б) \( g(x) = \frac{1}{x^2 — 6x + 12} \);

\[
x_0 = \frac{-6}{2 \cdot 1} = 3;
\]

\[
y_0 = 9 — 18 + 12 = 3;
\]

\[
x^2 — 6x + 12 \geq 3;
\]

\[
\frac{1}{x^2 — 6x + 12} \leq \frac{1}{3};
\]

Ответ: \( g_{\text{наиб}} = g(3) = \frac{1}{3}; \quad g_{\text{наим}} \) — отсутствует.

в) \( g(x) = 8 — \sqrt{1 — 3x^2 + 4\sqrt{3x + 4}} \);

\[
x_0 = \frac{-4\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = -\frac{2}{\sqrt{3}};
\]

\[
y_0 = 4 — 8 + 4 = 8 — 8 = 0;
\]

\[
3x^2 + 4\sqrt{3x + 4} \geq 0;
\]

Ответ: \( g_{\text{наиб}} = g(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = 8; \quad g_{\text{наим}} = g(-\frac{2}{\sqrt{3}}) = 7. \)

г) \( g(x) = \frac{x^2 + 18x + 81}{x^2 + 18x + 80} \);

\[
y = \frac{x^2 + 18x + 81}{x^2 + 18x + 80};
\]

\[
yx^2 + 18yx + 80y = x^2 + 18x + 81;
\]

\[
(y — 1)x^2 + (18y — 18)x + (80y — 81) = 0;
\]

\[
324y^2 — 648y + 324 — 320y^2 + 644y — 324 \geq 0;
\]

\[
4y^2 — 4y \geq 0, \quad 4y(y — 1) \geq 0, \quad y \leq 0, \quad y \geq 1;
\]

Ответ: нет таких значений.

а) \( g(x) = \frac{4x^2}{2x^2 + 3} \)

Для функции \( g(x) = \frac{4x^2}{2x^2 + 3} \), исследуем наибольшее и наименьшее значение функции.

Шаг 1: Пусть \( y = \frac{4x^2}{2x^2 + 3} \), тогда:

\[
2yx^2 + 3y = 4x^2.
\]

Шаг 2: Из этого уравнения выразим \( x^2 \):

\[
x^2(4 — 2y) = 3y \quad \Rightarrow \quad x^2 = \frac{3y}{4 — 2y}.
\]

Шаг 3: Для того чтобы \( x^2 \geq 0 \), должно выполняться условие:

\[
\frac{3y}{4 — 2y} \geq 0.
\]

Шаг 4: Решим это неравенство:

\[
\frac{3y}{2y — 4} \leq 0.
\]

Это неравенство выполняется при \( y \leq -2 \) или \( y \geq 2 \).

Шаг 5: Таким образом, границы для \( y \) лежат в интервале \( [0; 2] \).

Шаг 6: Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значение, подставим \( y = 0 \) и \( y = 2 \):

1. Когда \( y = 0 \), то \( g(0) = 0 \);

2. Когда \( y = 2 \), то \( g(2) \) не существует, так как в знаменателе будет 0.

Ответ: \( g_{\text{наиб}} = g(0) = 0; \quad g_{\text{наим}} \) — отсутствует.

б) \( g(x) = \frac{3x — 1}{x — 2} \)

Для функции \( g(x) = \frac{3x — 1}{x — 2} \), исследуем её область значений.

Шаг 1: Пусть \( y = \frac{3x — 1}{x — 2} \), тогда:

\[
yx — 2y = 3x — 1.
\]

Шаг 2: Из этого уравнения выразим \( x \):

\[
x(y — 3) = 3y — 1 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{3y — 1}{y — 3}.
\]

Это выражение определено при \( y \neq 3 \), так как деление на ноль невозможно.

Ответ: \( (-\infty; 3) \cup (3; +\infty) \).

в) \( g(x) = 8 — \sqrt{1 — 3x^2 + 4\sqrt{3x + 4}} \)

Для функции \( g(x) = 8 — \sqrt{1 — 3x^2 + 4\sqrt{3x + 4}} \), исследуем её область значений.

Шаг 1: Необходимо, чтобы выражение под квадратным корнем было неотрицательным:

\[
3x^2 + 4\sqrt{3x + 4} \geq 0.
\]

Решение этого неравенства приведёт нас к пределу для \( g(x) \):

Находим наибольшее и наименьшее значение функции при подставлении определённых значений для \( x \):

\[
g_{\text{наиб}} = g(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = 8; \quad g_{\text{наим}} = g(-\frac{2}{\sqrt{3}}) = 7.
\]

Ответ: \( g_{\text{наиб}} = 8; \quad g_{\text{наим}} = 7. \)

г) \( g(x) = \frac{x^2 + 18x + 81}{x^2 + 18x + 80} \)

Для функции \( g(x) = \frac{x^2 + 18x + 81}{x^2 + 18x + 80} \), исследуем её область значений.

Шаг 1: Пусть \( y = \frac{x^2 + 18x + 81}{x^2 + 18x + 80} \), тогда:

\[
yx^2 + 18yx + 80y = x^2 + 18x + 81.
\]

Шаг 2: Из этого уравнения выражаем \( x^2 \):

\[
(y — 1)x^2 + (18y — 18)x + (80y — 81) = 0.
\]

Шаг 3: Решим полученное неравенство для \( y \):

\[
324y^2 — 648y + 324 — 320y^2 + 644y — 324 \geq 0;
\]

После упрощения получаем:

\[
4y^2 — 4y \geq 0 \quad \Rightarrow \quad 4y(y — 1) \geq 0.
\]

Это неравенство выполняется, когда \( y \leq 0 \) или \( y \geq 1 \). Таким образом, не существует значений для данной функции.

Ответ: нет таких значений.