ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 175 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите область значений функции:

а) f(x)=(x^2+4)/(2x); в) f(x)=1-v(9-|x-2|);

б) f(x)=(3x-1)/(x-2); г) f(x)=3-1/(v(x-2)+1).

а) \( f(x) = \frac{x^2 + 4}{2x} \);

\[
y = \frac{x^2 + 4}{2x};
\]

\[
2yx = x^2 + 4;
\]

\[
x^2 — 2yx + 4 = 0;
\]

\[
D = (2y)^2 — 4 \cdot 4 \geq 0;
\]

\[
4y^2 — 16 \geq 0;
\]

\[
y^2 \geq 4 \geq 0;
\]

\[
(y + 2)(y — 2) \geq 0;
\]

\[
y \leq -2, \, y \geq 2;
\]

Ответ: \( (-\infty; -2] \cup [2; +\infty) \).

б) \( f(x) = \frac{3x — 1}{x — 2} \);

\[
y = \frac{3x — 1}{x — 2};
\]

\[
yx — 2y = 3x — 1;
\]

\[
x(y — 3) = 3y — 1;
\]

\[
x = \frac{3y — 1}{y — 3};
\]

Ответ: \( (-\infty; 3) \cup (3; +\infty) \).

в) \( f(x) = 1 — \sqrt{9 — |x — 2|} \);

Область значений:

\[
|x — 2| \leq 0;
\]

\[
9 — |x — 2| \leq 9;
\]

\[
0 \leq \sqrt{9 — |x — 2|} \leq 3;
\]

\[
-3 \leq \sqrt{9 — |x — 2|} \leq 0;
\]

Ответ: \( E(y) = [-2; 1] \).

г) \( f(x) = 3 — \frac{1}{\sqrt{x — 2} + 1} \);

Область значений:

\[
\sqrt{x — 2} \geq 0;
\]

\[
\sqrt{x — 2} + 1 \geq 1;
\]

\[
0 < \frac{1}{\sqrt{x — 2} + 1} \leq 1;
\]

Ответ: \( E(y) = [2; 3) \).

а) \( f(x) = \frac{x^2 + 4}{2x} \)

Для функции \( f(x) = \frac{x^2 + 4}{2x} \), исследуем область значений.

Шаг 1: Пусть \( y = \frac{x^2 + 4}{2x} \), тогда:

\[
2yx = x^2 + 4.
\]

Шаг 2: Перепишем уравнение:

\[
x^2 — 2yx + 4 = 0.
\]

Теперь найдем дискриминант этого квадратного уравнения по отношению к \( x \):

\[
D = (2y)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4y^2 — 16.
\]

Шаг 3: Для того чтобы уравнение имело реальные корни, дискриминант должен быть неотрицателен:

\[
4y^2 — 16 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad y^2 \geq 4.
\]

Шаг 4: Из этого неравенства получаем:

\[
(y + 2)(y — 2) \geq 0,
\]

что даёт решение \( y \leq -2 \) или \( y \geq 2 \).

Ответ: \( (-\infty; -2] \cup [2; +\infty) \).

б) \( f(x) = \frac{3x — 1}{x — 2} \)

Для функции \( f(x) = \frac{3x — 1}{x — 2} \), исследуем область значений.

Шаг 1: Пусть \( y = \frac{3x — 1}{x — 2} \), тогда:

\[
yx — 2y = 3x — 1.
\]

Шаг 2: Перепишем уравнение и выразим \( x \):

\[
x(y — 3) = 3y — 1 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{3y — 1}{y — 3}.
\]

Это выражение определено при \( y \neq 3 \), так как деление на ноль невозможно.

Ответ: \( (-\infty; 3) \cup (3; +\infty) \).

в) \( f(x) = 1 — \sqrt{9 — |x — 2|} \)

Для функции \( f(x) = 1 — \sqrt{9 — |x — 2|} \), исследуем область значений.

Шаг 1: Для того чтобы выражение под квадратным корнем было неотрицательным, должно выполняться условие:

\[
|x — 2| \leq 0.
\]

Это условие выполняется только при \( x = 2 \), так как модуль всегда неотрицателен и равен нулю только при \( x = 2 \).

Шаг 2: Теперь исследуем значение функции при \( x = 2 \):

\[
f(2) = 1 — \sqrt{9 — |2 — 2|} = 1 — \sqrt{9} = 1 — 3 = -2.
\]

Ответ: \( E(y) = [-2; 1] \).

г) \( f(x) = 3 — \frac{1}{\sqrt{x — 2} + 1} \)

Для функции \( f(x) = 3 — \frac{1}{\sqrt{x — 2} + 1} \), исследуем область значений.

Шаг 1: Для того чтобы выражение под квадратным корнем было положительным, должно выполняться условие:

\[
\sqrt{x — 2} \geq 0,
\]

что выполняется при \( x \geq 2 \).

Шаг 2: Из этого следует, что \( \sqrt{x — 2} + 1 \geq 1 \), и функция будет всегда меньше или равна 1:

\[
0 < \frac{1}{\sqrt{x — 2} + 1} \leq 1.
\]

Ответ: \( E(y) = [2; 3) \).

а) \( f(x) = \frac{x^2 + 4}{2x} \)

Для функции \( f(x) = \frac{x^2 + 4}{2x} \), исследуем область значений.

Шаг 1: Пусть \( y = \frac{x^2 + 4}{2x} \), тогда:

\[
2yx = x^2 + 4.
\]

Шаг 2: Перепишем уравнение:

\[
x^2 — 2yx + 4 = 0.
\]

Теперь найдем дискриминант этого квадратного уравнения по отношению к \( x \):

\[
D = (2y)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4y^2 — 16.
\]

Шаг 3: Для того чтобы уравнение имело реальные корни, дискриминант должен быть неотрицателен:

\[
4y^2 — 16 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad y^2 \geq 4.
\]

Шаг 4: Из этого неравенства получаем:

\[
(y + 2)(y — 2) \geq 0,
\]

что даёт решение \( y \leq -2 \) или \( y \geq 2 \).

Ответ: \( (-\infty; -2] \cup [2; +\infty) \).

б) \( f(x) = \frac{3x — 1}{x — 2} \)

Для функции \( f(x) = \frac{3x — 1}{x — 2} \), исследуем область значений.

Шаг 1: Пусть \( y = \frac{3x — 1}{x — 2} \), тогда:

\[
yx — 2y = 3x — 1.
\]

Шаг 2: Перепишем уравнение и выразим \( x \):

\[
x(y — 3) = 3y — 1 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{3y — 1}{y — 3}.
\]

Это выражение определено при \( y \neq 3 \), так как деление на ноль невозможно.

Ответ: \( (-\infty; 3) \cup (3; +\infty) \).

в) \( f(x) = 1 — \sqrt{9 — |x — 2|} \)

Для функции \( f(x) = 1 — \sqrt{9 — |x — 2|} \), исследуем область значений.

Шаг 1: Для того чтобы выражение под квадратным корнем было неотрицательным, должно выполняться условие:

\[
|x — 2| \leq 0.
\]

Это условие выполняется только при \( x = 2 \), так как модуль всегда неотрицателен и равен нулю только при \( x = 2 \).

Шаг 2: Теперь исследуем значение функции при \( x = 2 \):

\[
f(2) = 1 — \sqrt{9 — |2 — 2|} = 1 — \sqrt{9} = 1 — 3 = -2.
\]

Ответ: \( E(y) = [-2; 1] \).

г) \( f(x) = 3 — \frac{1}{\sqrt{x — 2} + 1} \)

Для функции \( f(x) = 3 — \frac{1}{\sqrt{x — 2} + 1} \), исследуем область значений.

Шаг 1: Для того чтобы выражение под квадратным корнем было положительным, должно выполняться условие:

\[
\sqrt{x — 2} \geq 0,
\]

что выполняется при \( x \geq 2 \).

Шаг 2: Из этого следует, что \( \sqrt{x — 2} + 1 \geq 1 \), и функция будет всегда меньше или равна 1:

\[
0 < \frac{1}{\sqrt{x — 2} + 1} \leq 1.
\]

Ответ: \( E(y) = [2; 3) \).