ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 174 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что функция f(x) является ограниченной, и укажите её верхнюю и нижнюю границы:

а) f(x)=1/(x^2+8); в) f(x)=v(10x-x^2-16);

б) f(x)=(3x^2+19)/(x^2+9); г) f(x)=1/v(x^2-6x+10).

Найти границы функции:

а) \( f(x) = \frac{1}{x^2 + 8} \);

\[
y = \frac{1}{x^2 + 8};
\]

\[
yx^2 + 8y = 1;
\]

\[
yx^2 = 1 — 8y;
\]

\[
x^2 = \frac{1 — 8y}{y} \geq 0;
\]

\[
8y — 1 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad y \geq \frac{1}{8};
\]

\[
0 < y \leq \frac{1}{8};
\]

Ответ: \( 0; \, \frac{1}{8} \).

б) \( f(x) = \frac{3x^2 + 19}{x^2 + 9} \);

\[
y = \frac{3x^2 + 19}{x^2 + 9};
\]

\[
yx^2 + 9y = 3x^2 + 19;
\]

\[
x^2(y — 3) = 19 — 9y;
\]

\[
x^2 = \frac{19 — 9y}{y — 3} \geq 0;
\]

\[
9y — 19 \leq 0 \quad \Rightarrow \quad y \leq \frac{19}{9};
\]

\[
2 \frac{1}{9} \leq y < 3;
\]

Ответ: \( \frac{2}{9}; \, 3 \).

в) \( f(x) = \sqrt{10x — x^2 — 16} \);

\[
x_0 = \frac{10}{2(-1)} = 5;
\]

\[
y_0 = 50 — 25 — 16 = 9;
\]

\[
10x — x^2 — 16 \leq 9;
\]

Ответ: \( 0; \, 3 \).

г) \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 — 6x + 10}} \);

\[
x_0 = \frac{-6}{2 \cdot 1} = 3;
\]

\[
y_0 = 9 — 18 + 10 = 1;
\]

\[
x^2 — 6x + 10 \geq 1;
\]

Ответ: \( 0; \, 1 \).

а) \( f(x) = \frac{1}{x^2 + 8} \)

Для функции \( f(x) = \frac{1}{x^2 + 8} \), исследуем её границы.

Шаг 1: Пусть \( y = \frac{1}{x^2 + 8} \). Преобразуем это уравнение:

\[
yx^2 + 8y = 1;
\]

Теперь выразим \( x^2 \):

\[
yx^2 = 1 — 8y \quad \Rightarrow \quad x^2 = \frac{1 — 8y}{y}.
\]

Для того чтобы \( x^2 \geq 0 \), должно выполняться условие:

\[
\frac{1 — 8y}{y} \geq 0.
\]

Это неравенство выполняется, когда \( 8y — 1 \geq 0 \), то есть \( y \geq \frac{1}{8} \).

Ответ: \( 0 < y \leq \frac{1}{8} \).

б) \( f(x) = \frac{3x^2 + 19}{x^2 + 9} \)

Для функции \( f(x) = \frac{3x^2 + 19}{x^2 + 9} \), исследуем её границы.

Шаг 1: Пусть \( y = \frac{3x^2 + 19}{x^2 + 9} \), тогда:

\[
yx^2 + 9y = 3x^2 + 19;
\]

Шаг 2: Из этого уравнения выразим \( x^2 \):

\[
x^2(y — 3) = 19 — 9y \quad \Rightarrow \quad x^2 = \frac{19 — 9y}{y — 3}.
\]

Для того чтобы \( x^2 \geq 0 \), должно выполняться условие:

\[
\frac{19 — 9y}{y — 3} \geq 0.
\]

Это неравенство выполняется при \( 9y — 19 \leq 0 \), то есть \( y \leq \frac{19}{9} \).

Ответ: \( 2 \frac{1}{9} \leq y < 3 \).

в) \( f(x) = \sqrt{10x — x^2 — 16} \)

Для функции \( f(x) = \sqrt{10x — x^2 — 16} \), исследуем её область определения.

Шаг 1: Для того чтобы выражение под корнем было неотрицательным, нужно решить неравенство:

\[
10x — x^2 — 16 \geq 0.
\]

Приводим неравенство к стандартному виду:

\[
-x^2 + 10x — 16 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 — 10x + 16 \leq 0.
\]

Решаем это неравенство и находим корни уравнения:

\[
x_0 = \frac{10}{2(-1)} = 5;
\]

Теперь находим значение функции в этой точке:

\[
y_0 = 50 — 25 — 16 = 9;
\]

Ответ: \( 0 \leq x \leq 3 \).

г) \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 — 6x + 10}} \)

Для функции \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 — 6x + 10}} \), исследуем её область определения.

Шаг 1: Необходимо, чтобы выражение под квадратным корнем было положительным:

\[
x^2 — 6x + 10 \geq 1.
\]

Преобразуем это неравенство:

\[
x^2 — 6x + 9 \geq 0.
\]

Это выражение представляет собой квадрат \( (x — 3)^2 \), который всегда неотрицателен и равен нулю только при \( x = 3 \).

Ответ: \( 0 < x \leq 1 \).