ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 170 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Является ли функция чётной или нечётной, если:

а) f(x)=(x+1)·|x|+(x-1)·|x|; в) g(x)=|x|/(x-3)+|x|/(x+3);

б) f(x)=(x+1)·|x|-(x-1)·|x|; г) g(x)=|x|/(x-3)-|x|/(x+3)?

Исследовать на четность:

а) \( f(x) = (x + 1) \cdot |x| + (x — 1) \cdot |x| \);

\[
f(-x) = (-x + 1) \cdot | -x| + (-x — 1) \cdot | -x|
\]

\[
f(-x) = -(x + 1) \cdot |x| — (x — 1) \cdot |x| = -f(x);
\]

Ответ: нечетная.

б) \( f(x) = (x + 1) \cdot |x| — (x — 1) \cdot |x| \);

\[
f(-x) = (-x + 1) \cdot | -x| — (-x — 1) \cdot | -x|
\]

\[
f(-x) = -(x — 1) \cdot |x| + (x + 1) \cdot |x| = f(x);
\]

Ответ: четная.

в) \( g(x) = \frac{|x|}{x — 3} + \frac{|x|}{x + 3} \);

\[
g(-x) = \frac{| -x |}{-x — 3} + \frac{| -x |}{-x + 3}
\]

\[
g(-x) = -\frac{|x|}{x + 3} — \frac{|x|}{x — 3} = -g(x);
\]

Ответ: нечетная.

г) \( g(x) = \frac{|x|}{x — 3} — \frac{|x|}{x + 3} \);

\[
g(-x) = \frac{| -x |}{-x — 3} — \frac{| -x |}{-x + 3}
\]

\[
g(-x) = \frac{|x|}{x + 3} + \frac{|x|}{x — 3} = g(x);
\]

Ответ: четная.

а) \( f(x) = (x + 1) \cdot |x| + (x — 1) \cdot |x| \)

Для того чтобы исследовать функцию на четность, нам нужно вычислить значение функции для \( f(-x) \) и проверить, выполняется ли условие \( f(-x) = f(x) \) для четной функции или \( f(-x) = -f(x) \) для нечетной.

Шаг 1: Подставим \( -x \) в выражение функции:

\[
f(-x) = (-x + 1) \cdot | -x| + (-x — 1) \cdot | -x|;
\]

Поскольку \( | -x| = |x| \), заменим это в уравнении:

\[
f(-x) = -(x + 1) \cdot |x| — (x — 1) \cdot |x| = -f(x).
\]

Мы видим, что \( f(-x) = -f(x) \), что означает, что функция нечетная.

Ответ: \( f(x) \) нечетная функция.

б) \( f(x) = (x + 1) \cdot |x| — (x — 1) \cdot |x| \)

Теперь исследуем функцию \( f(x) = (x + 1) \cdot |x| — (x — 1) \cdot |x| \). Мы также подставим \( -x \) в выражение функции и проверим, выполняется ли условие для четности или нечетности.

Шаг 1: Подставим \( -x \) в выражение:

\[
f(-x) = (-x + 1) \cdot | -x| — (-x — 1) \cdot | -x|;
\]

Как и в предыдущем случае, \( | -x| = |x| \), подставляем это в уравнение:

\[
f(-x) = -(x — 1) \cdot |x| + (x + 1) \cdot |x| = f(x);
\]

Мы видим, что \( f(-x) = f(x) \), что означает, что функция четная.

Ответ: \( f(x) \) четная функция.

в) \( g(x) = \frac{|x|}{x — 3} + \frac{|x|}{x + 3} \)

Теперь исследуем функцию \( g(x) = \frac{|x|}{x — 3} + \frac{|x|}{x + 3} \). Мы снова подставим \( -x \) в выражение функции и проверим её четность или нечетность.

Шаг 1: Подставим \( -x \) в выражение:

\[
g(-x) = \frac{| -x |}{-x — 3} + \frac{| -x |}{-x + 3};
\]

Поскольку \( | -x| = |x| \), подставляем это в уравнение:

\[
g(-x) = -\frac{|x|}{x + 3} — \frac{|x|}{x — 3} = -g(x);
\]

Мы видим, что \( g(-x) = -g(x) \), что означает, что функция нечетная.

Ответ: \( g(x) \) нечетная функция.

г) \( g(x) = \frac{|x|}{x — 3} — \frac{|x|}{x + 3} \)

Наконец, исследуем функцию \( g(x) = \frac{|x|}{x — 3} — \frac{|x|}{x + 3} \). Мы снова подставим \( -x \) в выражение функции и проверим её четность или нечетность.

Шаг 1: Подставим \( -x \) в выражение:

\[
g(-x) = \frac{| -x |}{-x — 3} — \frac{| -x |}{-x + 3};
\]

Поскольку \( | -x| = |x| \), подставляем это в уравнение:

\[
g(-x) = \frac{|x|}{x + 3} + \frac{|x|}{x — 3} = g(x);
\]

Мы видим, что \( g(-x) = g(x) \), что означает, что функция четная.

Ответ: \( g(x) \) четная функция.