ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 17 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что функция g является убывающей, если:

а) g(x)=1/(10x+5), где x > -1/2; в) g(x)=v(2-x);

б) g(x)=1/x^2, где x > 0; г) g(x)=1/vx.

Функция убывает:

а)
\[
g(x) = \frac{1}{10x + 5}, \quad x > -\frac{1}{2};
\]

\[
y = 10x + 5 > 0 \text{ — возрастает;}
\]

\[
g(x) = \frac{1}{10x + 5} \text{ — убывает;}
\]

Что и требовалось доказать.

б)
\[
g(x) = \frac{1}{x^2}, \quad x > 0;
\]

\[
y = x^2 > 0 \text{ — возрастает;}
\]

\[
g(x) = \frac{1}{x^2} \text{ — убывает;}
\]

Что и требовалось доказать.

в)
\[
g(x) = \sqrt{2 — x};
\]

\[
y = 2 — x \text{ — убывает;}
\]

\[
y = \sqrt{x} \text{ — возрастает;}
\]

\[
g(x) = \sqrt{2 — x} \text{ — убывает;}
\]

Что и требовалось доказать.

г)
\[
g(x) = \frac{1}{\sqrt{x}};
\]

\[
y = \sqrt{x} > 0 \text{ — возрастает;}
\]

\[
g(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} \text{ — убывает;}
\]

Что и требовалось доказать.

Задание: Доказать, что функция убывает.

а) Функция: \( g(x) = \frac{1}{10x + 5}, \quad x > -\frac{1}{2} \)

Для функции \( g(x) = \frac{1}{10x + 5} \) анализируем поведение её производной.

Для выражения \( 10x + 5 \): функция \( y = 10x + 5 \) является линейной и возрастает, так как её производная \( 10 \) положительна.

Для функции \( g(x) = \frac{1}{10x + 5} \): производная функции \( g(x) \) будет отрицательной, так как \( 10x + 5 \) возрастает, а \( \frac{1}{x} \) всегда убывает. Следовательно, функция \( g(x) \) убывает.

Ответ: Функция убывает, как и требовалось доказать.

б) Функция: \( g(x) = \frac{1}{x^2}, \quad x > 0 \)

Для функции \( g(x) = \frac{1}{x^2} \) анализируем поведение её производной.

Для выражения \( x^2 \): функция \( y = x^2 \) возрастает на интервале \( x > 0 \), так как её производная \( 2x \) положительна.

Для функции \( g(x) = \frac{1}{x^2} \): функция \( \frac{1}{x^2} \) убывает на интервале \( x > 0 \), так как \( x^2 \) возрастает, а \( \frac{1}{x^2} \) всегда убывает.

Ответ: Функция убывает, как и требовалось доказать.

в) Функция: \( g(x) = \sqrt{2 — x} \)

Для функции \( g(x) = \sqrt{2 — x} \) анализируем её производную.

Для выражения \( 2 — x \): функция \( y = 2 — x \) убывает, так как её производная \( -1 \) отрицательна.

Для функции \( g(x) = \sqrt{2 — x} \): производная функции \( g(x) \) будет отрицательной, так как \( \sqrt{x} \) возрастает, а \( 2 — x \) убывает. Следовательно, функция \( g(x) \) убывает на интервале \( (-\infty, 2] \).

Ответ: Функция убывает, как и требовалось доказать.

г) Функция: \( g(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} \)

Для функции \( g(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} \) анализируем её поведение.

Для выражения \( \sqrt{x} \): функция \( y = \sqrt{x} \) возрастает, так как её производная \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \) положительна для \( x > 0 \).

Для функции \( g(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} \): функция \( \frac{1}{\sqrt{x}} \) убывает, так как \( \sqrt{x} \) возрастает, а \( \frac{1}{\sqrt{x}} \) всегда убывает.

Ответ: Функция убывает, как и требовалось доказать.